可分离变量的微分方程及其应用

可分离变量的微分方程及其应用主讲人李海燕数学计算机科学系授课内容知识点回顾提出问题引例建模定义解法解决问题练习一、知识点回顾常微分方程的形式通解与特解常微分方程的定义二、提出问题怎样求解一阶微分方程呢？（难！）什么是可分离变量的微分方程呢？初等积分法分离变量法常数变易法恰当因子法参数法降阶法三、引例建模故事梗概直到20年后，1967年卡内基梅隆大学的科学家们用微分方程模型解决了真假名画问题。范.梅格伦（VanMeegren）“伪造”17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer（维米尔）的名画卖给纳粹分子。思路2原理：著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出，物质的放射性（衰变率）正比于现存物质的原子数。1分析：油画中不可缺少的颜料之一白铅，具有放射性，其应用已有2000余年，白铅的成分中包含了少量的镭（Ra226）和少量的放射性铅（Pb210）。我们看下元素衰变示意图。3建立微分方程：设t时刻每克白铅中含铅210的数量为y(t),y0为t0时刻每克白铅中含铅210的数量,镭元素的衰变率为常数r。则：00)(ytyrydtdy四、可分离变量微分方程的定义定义：若一阶显式或微分形式方程可分别写成)()(21yfxfdxdy（1）0)()()()(2121dyyNxNdxyMxM（2）均连续其中)(),();(),();(),(212121yNxNyMxMyfxf则称：(1)和(2)为变量可分离方程。五、可分离变量微分方程的解法积分法隐式通解（通积分）变量分离)()(21yfxfdxdy以方程（1）为例：例解初值问题0d)1(d2yxxyx1)0(y六、解决问题经验：矿石中铀的最大含量可能2-3%，若白铅中铅210每分钟衰变超过3万个原子，则矿石中含铀量超过4%。处理：分析铅210的衰变率，与当时矿物质中放射性物质含量比较，来判别画的真伪。建模：设t时刻每克白铅中含铅210的数量为y(t)，y0为t0时刻每克白铅中含铅210的数量,镭元素的衰变率为常数r。)(0)(001)(tttteyerty则:衰变率：1)()()(000tttteretyy其中,y(t),r均容易测出。00)(ytyrydtdy画名钋210衰变原子数（每克每分钟）镭226衰变原子数（每克每分钟）Emmaus的信徒们8.50.82洗足12.60.26读乐谱的妇人10.30.3弹曼陀林的妇人8.20.17做花边的人1.51.4欢笑的女孩5.26.03000tt222ln111503002e]1[)()()(000tttteretyy]1[)(300300erety]12[8.025.81115011150假设：第一幅画是真品，则铅210每分钟每克衰变数值不合理，因此为赝品。min/30000min/98050个个同理可判别其他画的真伪。结论：小结：1.可分离变量的微分方程及其解法2.可分离变量的微分方程的建模应用1cos02xyxydxdy1.解方程:七、练习2.古尸年代鉴定问题:在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作C14年代测定，分析表明，与C12的比例仅仅是活组织内的6.24%，能否判断此人生活在多少年前?Thankyouforyourattention！