工程力学—第九章-扭转

第7章扭转基本概念动力传递与扭矩切应力互等定理与剪切虎克定律圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转变形与刚度条件第一节引言扭转：以横截面绕轴线作相对转动为主要特征的变形形式，称为扭转。第一节引言扭力偶：使杆产生扭转变形的外力偶。扭力偶矩：使杆产生扭转变形的外力偶之矩。第一节引言轴：凡以扭转为主要变形的直杆称为轴。第一节引言扭转角：轴的变形以横截面间绕轴线的相对角位移称扭转角。功率、转速与扭力偶矩之间的关系第二节动力传递与扭矩minrkWmNnPM9549srkWmNnP.M2159式中：P=Mω—功率，即力偶在单位时间内所作之功，单位为kW（千瓦）；M—力偶矩，单位为N·m（牛顿·米）；ω—相应角速度；{n}—轴的转速，单位为r/min（转／分），或r/s（也可表示为s-1）（转／秒）。功率P=Mω，又1W=1N·m/s于是上式变为P*103=M*2πn/60由此得则若转速n的单位为r/s,第二节动力传递与扭矩扭矩与扭矩图扭转变形的内力：—扭矩。扭矩：即n－n截面处的内力偶矩。第二节动力传递与扭矩扭矩的正负号规定：采用右手螺旋法则。指向截面外侧为正指向截面内侧为负第二节动力传递与扭矩扭矩图：表示扭矩沿轴线变化情况的图线。例题1图示传动轴,转速n=500r/min，轮B为主动轮，输入功率PB=10kW，轮A与轮C均为从动轮，输出功率PA=4kW，PC=6kW。试计算轴的扭矩，并画扭矩图。解（1）扭力偶矩计算m4N.7650049549nP9549MAAmN500109549nP9549MBB191m4.6N50069549nP9549MCC11（2）扭矩计算设AB与BC段的扭矩为正，并分别用T1和T2表示，则m4N.76MTA1m4.6N--MTC211（3）画扭矩图根据上述分析，画扭矩图，扭矩的最大绝对值为m4.6NTT2max11Tx76.4N·m114.6N·m例题一传动轴如图，转速；主动轮输入的功率P1=500kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。试作轴的扭矩图。minr300n解：1.计算作用在各轮上的外力偶矩mkN9.15mN109.15mN)3005001055.9(331MmkN78.4mN1078.4mN)3001501055.9(3332MMmkN37.6mN1037.6mN)3002001055.9(334M2.计算各段的扭矩BC段内：mkN78.421MTAD段内：mkN37.643MTCA段内：mkN9.56322MMT(负)注意这个扭矩是假定为负的3.作扭矩图由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其值为9.56kN·m。第二节动力传递与扭矩思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？15.94.786.374.78第三节切应力互等定理与剪切虎克定律薄壁圆管的扭转应力从圆管上切取一微体abcd，微体既无轴向正应变，也无横向正应变，只是相邻横截面ab与cd之间发生相对错动，即仅产生剪切变形；而且，沿圆周方向所有微体的剪切变形均相同。第三节切应力互等定理与剪切虎克定律由此可见，在圆管横截面的各点处，仅存在垂直于半径方向的切应力，如图示，它们沿圆周大小不变，而且由于管壁很薄，沿壁厚也可近似认为均匀分布。第三节切应力互等定理与剪切虎克定律薄壁圆管的扭转应力设圆管的平均半径为Ro，壁厚为δ，微剪力对轴线O的力矩为Ro․τδRodθ。横截面的扭矩T即为：2o202oR2dRT薄壁圆管扭转的切应力为：2oR2T＝当时，该公式足够精确。/10Ro第三节切应力互等定理与剪切虎克定律纯剪切与切应力互等定理：切应力互等定理：在微体的两个相互垂直的截面上，切应力总是同时存在，且大小相等，方向则共同指向或共同背离两截面的交线。在微体的左、右两个侧面上，力偶之矩为τδdydx。顶面与底面的两个力所构成的力偶之矩为τ’δdxdy。微体平衡，则τ=τ’。纯剪切：如上述微体的四个侧面上，仅存在切应力而无正应力的应力状态。第三节切应力互等定理与剪切虎克定律剪切虎克定律：τ＝Gγ在切应力作用下，微体发生切应变。薄壁圆管的扭转试验表明：当切应力不超过材料的剪切比例极限τp时，切应力与切应变成正比，即τγ。引入比例系数G，则τ＝Gγ。G－切变模量（剪切弹性模量），单位为Gpa，其值随材料而异，由实验测定。第四节圆轴扭转横截面上的应力最大扭转切应力由式可知，在ρ＝R即圆截面边缘各点处，切应力最大，其值为pITpppmaxWTRITITR式中Wp为抗扭截面系数，Wp=Ip/R单位为m3或mm3。可见，最大扭转切应力与扭矩成正比，与抗扭截面系数成反比。平面假设：变形后，横截面仍保持为平面，其形状、大小与间距均不变，而且，半径仍为直线。第五节圆轴扭转破坏与强度条件扭转失效与扭转极限应力扭转试验表明：塑性材料试样受扭时，先发生屈服，在试样表面的横向与纵向出现滑移线，如果再继续增大扭力偶矩，试样最后沿横截面被剪断；脆性材料试样受扭时，变形始终很小，最后在与轴线成450倾角的螺旋面发生断裂。上述实验结果说明，圆轴受扭时，其破坏的标志仍然是塑性屈服与脆性断裂。扭转屈服应力：试样扭转屈服时横截面上的最大切应力，称为扭转屈服应力。扭转极限应力：扭转屈服应力与扭转强度极限统称为扭转极限应力，并用τu表示。－塑性材料－脆性材料第五节圆轴扭转破坏与强度条件()＝MxIp圆轴扭转时横截面上的最大切应力当＝max时，＝maxmax=MxWpWp=maxIpWp扭转截面系数第五节圆轴扭转破坏与强度条件强度条件：maxPmaxWTPmaxmaxWT对于等截面圆轴：第五节圆轴扭转破坏与强度条件Ip＝d432Wp=d316Ip＝D432(1-4)Wp=D316(1-4)=d/D对于实心圆截面对于圆环截面例1已知传动轴的转速n=8.3s-1，主动轮输入功率P1=368kW，从动轮2、3分别输出功率为P2=147kW，P3=221kW，[τ]=70MPa，[θ]=10/m，G=80GPa。试按强度条件求AB段的直径d1；BC段的直径d2；若两段采用同一直径d，试确定d的大小。mNnPM7057603.83689550955011解(1)求外力偶矩mNnPM2819603.81479550955022mNnPM4238603.82219550955033(2)求扭矩d1d2123M2M1M3ABCmN2819MT21mN4238MT32(3)按强度条件求直径：mN2819MT21mN4238MT3216dW3pmaxPmaxWT131T16dmm59m059.0107014.3281916T16d36311又所以同理mm86m860.0107014.3423816T16d36322若两段采用同一直径，则取mm68dd1d2123M2M1M3ABC例题已知解放牌汽车主传动轴传递的最大扭矩T=1930Nm，传动轴用外径D=89mm、壁厚=2.5mm的钢管做成。材料为20钢，其许用切应力[]=70MPa。校核此轴的强度。若在同样强度条件下，将空心轴改成实心轴，试确定其直径，并比较二者的重量。解：（1）计算抗扭截面系数944.0895.22892DDDd（注意单位）35344343109.2109.2944.01892.012.0mmmDWP（2）强度校核MPaMPaPaWTp707.66107.66109.2193065max满足强度条件（3）确定实心轴直径，并比较其重量3max2.0实dTWTPmmmTd53053.0107.662.019302.063max实308.0280986553848944222222实实空实空ddDAAGG空心轴比实心轴省材料例2下图所示阶梯形圆截面轴，在横截面A、B与C处承受扭力偶作用，试校核轴的强度。已知MA=150N.m，MB=50N.m，MC=100N.m，许用切应力［τ］＝90MPa。解：（1）问题分析绘制扭矩图，由图知AB与BC段的扭矩分别为T1=150N.mT2=100N.m（2）强度校核MPa88.80Pa10088.8024.0018.01024.0)mN150(16Dd1DT167434113111max,MPa7.86Pa1067.8022.0018.01022.0)mN100(16Dd1DT167434223222max,Τmax,1与τmax,2均小于许用切应力，说明轴满足强度条件。例3某传动轴，轴内的最大扭矩T=1.5kN.m，若许用切应力［τ］＝50MPa，试按下列两种方案确定轴的横截面尺寸，并比较其重量。（1）实心圆截面轴；（2）空心圆截面轴，其内、外径的比值di/d0=0.9。解：（1）确定实心轴的直径pWT而16dW3p故m0535.01050105.116T16d3633根据强度条件取d=54mm（注意取法）取do=76mm，di=68mm（注意）（3）重量比较由于空心及实心圆轴的长度及材料均相同，所以，二者的重量比等于其横截面面积之比，即395.0054.0068.0076.0d44dd22222i20＝上述数据充分说明，空心轴比实心轴轻。即空心轴省材料。(2)确定空心轴的内、外径m0763.010509.01105.1161T16d364334o则其内径为:di=0.9do=0.90.0763=0.0687m例题例题4已知：P＝7.5kW,n=100r/min,许用切应力＝40MPa,空心圆轴的内外径之比=0.5。求:实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。例题解：PMx=T=9549n7.5=9549100=716.2N.mmax=Wp116MxMx=d13=40MPa=0.045m=45mmd1=16716.2401063例题例题4max==40MPaWp2Mx16Mx=D23(1-4)d2=0.5D2=23mmA1A2=d12D22(1-2)=1.28=0.045m=45mmD2=16716.2(1-0.54)401063第六节圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形：轴的扭转变形，用横截面间绕轴线的相对角位移即扭转角φ表示。相距l的两横截面间的扭转角为PGIlT上式表明，扭转角φ与扭矩T、轴长l成正比，与GIP成反比。扭转刚度：乘积GIP称为圆轴截面的扭转刚度，或简称为扭转刚度。第六节圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转刚度条件：0maxP180GIT－单位长度的许用扭转角。对于一般传动轴，为0.50／m—10／m；对于精密仪器及仪表的轴，根据规范确定。第六节圆轴扭转变形与刚度条件3216.0/dd例题传动轴ABC，MA=300kNm，MB=200kNm，MC=500kNm，lAB=a，lBC=2a，已知两段轴的最大剪应力相等，求：（1）直径比d1/d2；（2）扭转角比AB/BC。6.021BCAB例5一传动轴如图所示,其