线性代数课件

线性代数课程简介一.教材与参考书《线性代数》吴传生王卫华编教材选用：参考教材：线性代数是一门基础数学课程,其核心内容是研究有限维线性空间的结构和线性变换.其理论和方法有着广泛的应用.行列式矩阵线性方程组向量空间矩阵的特征值二次型1.教材内容:2.学习方法与要求;预习+课堂学习+课外练习课本+练习本+笔本期应完成:10次作业、2次考试（4次考试）线性代数(LinearAlgebra)简介加法与乘法被看成是代数系统中的一般运算。一.代数:是指由字母或符号来研究数及其结构的科学。1.初等代数代数的起源可以追溯至3000多年前的古埃及人和古巴比伦人。初期的代数主要源于解方程.我国古代的《九章算术》中就有方程问题。初等代数研究的对象:代数式的运算和方程的求解。整式、分式和根式是初等代数的三大类代数式。四则运算，乘方和开方运算,通常称为初等代数的代数运算.初等代数的十条规则:(1)五条基本运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律；(2)两条等式基本性质:等式两边同时加上一个数，等式不变；等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变；(3)三条指数律：同底数幂相乘，底数不变指数相加；指数的乘方等于底数不变指数相乘；积的乘方等于乘方的积。人们在解方程的研究过程中发现了无理数、负数和复数，从而使数的概念得到了扩充。2、代数的基本定理1799年高斯（Gauss）证明：复数域上任意一个一元n次（n0）方程121210...0nnnnnnaxaxaxaxa任何一个一元n次方程在复数域上有且仅有n个根（重根按重数计算）至少有1个根,这就是说,至少有1个复数x满足这个等式；3.多项式方程的代数解问题方程的代数解是指:方程经过有限次代数运算得到的解。例如：20axbxc的解.22024bbaxcaa222424bbacxaa21,242bbacxa，，阿贝尔（Abel）(1802～1829)证明了五次方程不可能有代数解4、方程根与系数的关系20axbxc12,xx12bxxa12cxxa韦达定理:设一元二次方程在复数域上的两个根为,则有121210...0nnnnnnaxaxaxaxa12,,nxxx112nnnaxxxa212131nnnnaxxxxxxa一般地:设在复数域上的n个根为,则有312312421nnnnnaxxxxxxxxxa0121nnnaxxxa…2.高等代数1832年法国数学家伽罗瓦运用“群”的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性,由此代数转变成为研究代数运算结构的科学.二.线性代数“线性”的含义是指未知量的一次式。例如:y=ax表示变量y是变量x的一个线性函数，y=ax1+bx2表示变量y是x1，x2的线性关系。一个线性表示不能包含诸如x2和x1x2的二次项，这些二次项是非线性的。线性代数的研究对象:线性方程组、线性空间和线性变换。行列式和矩阵的是线性代数的两个重要工具.1、求解线性方程组例1：明代程大为著的《算法统宗》中记载：100个和尚分100个馒头。大和尚一人3个，小和尚3人一个，刚好分完。问大、小和尚各多少人？解：设有大和尚x人，小和尚y人，于是有100131003xyxy100yx820033x25,75xy用代入法求得：，代入，解出：例2：中国古代算书《张丘建算经》记载百鸡问题：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只鸡，问：在这一百鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？解：设有公鸡x只，母鸡y只，小鸡z只，则有1001531003xyzxyz有（2）×3－（1）得148200xy74100xy7254yx因为y是整数，可设代入得：4xk4257753xkykzk又y0,可知k=1,2,3,由此得41878xyz81181xyz12484xyz或或例3求解下列线性方程组211322231x+y-z=x+y+z=x-y+z=35xk21322xyzxyz(1)(2)(3)解:由(2)-(1)得(3)方程组与下列方程组同解(4)(5)由(5)×2－(4):13ykzkk是任意常数令:1231231231232224222130xxxxxxxxxxxx解:利用高斯（Gauss）消元法求解.将1,2两个方程互换位置得123123123123422222130xxxxxxxxxxxx由第1个方程分别乘-2,-2,-3,后与2,3,4方程相加,得12323232344310493xxxxxxxxx同理:将2,3方程互换位置,得12323232344943103xxxxxxxxx把第3,4两个方程分别加上第2个方程的-4,-1倍,得123233344922xxxxxxx同理;得123233449200xxxxxx从第3个方程回代123112xxx利用高斯消元法求解线性方程组12312312343222322xxxxxxxxx解:原方程组→123232344310432xxxxxxx无解.若我们进一步变换可得:123234431008xxxxx从以上例题可以看出,线性方程组的解有3种情况:唯一解、无穷解和无解。当未知量或方程组的个数增多时,常用高斯消元法求解方程组.一般地,方程组可表示为:11111212111212122222221122nnnnmmmmmnmnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb它是线性代数的主要研究对象。例:总收入问题某地区有1个工厂,生产甲,乙,丙3种产品,xi(i=1,2,3),表示工厂生产这3种产品的数量,ai(i=1,2,3)表示第i种产品的单价,y表示这3种产品的总收入,则有:332211xaxaxay若某地区有1,2,3,4个工厂,生产甲,乙,丙3种产品,xki(k=1,2,3,4;i=1,2,3)是k工厂生产i种产品的数量,ai(i=1,2,3)表示i种产品的单价,yk表示k工厂的总收入,则有:2、线性代数的数学模型1331221111xaxaxay2332222112xaxaxay3333223113xaxaxay4334224114xaxaxay在一个经济系统中,一个企业既是生产者又是消费者,作为生产者,它有产出,作为消费者它有投入,企业之间的这种平衡关系可以用一系列的线性方程组来表示,这就是列昂节夫(诺贝尔经济学奖获得者)的投入产出数学模型.例全球定位系统GPS要想知道卡车在公路上行驶时的位置可利用GPS系统.这个系统是由24颗高轨道卫星组成,卡车从其中3颗卫星接受信号,接受器里的软件利用线性代数方法来确定卡车的位置.当卡车和一颗卫星联系时,接受器从信号往返的时间能确定卡车到卫星的距离,例如14000公里,从卫星来看,知道卡车位于以卫星为球心,半径为14000公里的球面上的某地.设卡车位置(x,y,z),第一颗卫星位置(a1,b1,c1)即221212114000czbyax同理假设第2,3颗卫星的位置分别是(a2,b2,c2)和(a3,b3,c3)距卡车的距离分别是17000和16000公里,则有222222217000czbyax223232316000czbyax这些关系式不是线性关系式,要求(x,y,z)由(1)减(2),(3)得:1121212222222Rzccybbxaa2131313222222Rzccybbxaa例:动画问题动画设计中常常用到坐标变换如:平移旋转等设平面上的点为(x,y)平移变换后为yx,则:byyaxx设平面上的点为(x,y)旋转变换后为yx,则:cossinsincosyxyyxx(x,y)yx,αθr§1n阶行列式的定义的主要内容是:一.2阶行列式和3阶行列式的定义(一)2阶行列式的定义(二)3阶行列式的定义二.n阶行列式的定义行列式简介行列式出现于线性方程组的求解。它是数学语言上的改革,它的简化的记法常常是深奥理论的源泉。———P.S.Laplace是一种速记表达式.行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的(1683年)Vandermonde首次对行列式理论进行系统的阐述成为行列式理论的奠基人.用消元法解二元线性方程组.,22221211212111bxaxabxaxa12:122a,2212221212211abxaaxaa:212a,1222221212112abxaaxaa，得两式相减消去2x一.2阶行列式和3阶行列式的定义(一)2阶行列式的定义;212221121122211baabxaaaa）（，得类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa）（时，当021122211aaaa方程组的解为，211222112122211aaaabaabx）（3.211222112112112aaaaabbax.,22221211212111bxaxabxaxa122222111211baabaa由方程组的四个系数确定.由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表)4(22211211aaaa定义)5(42221121121122211aaaaaaaa行列式，并记作）所确定的二阶称为数表（表达式即.2112221122211211aaaaaaaaD11a12a22a12a主对角线副对角线对角线法则2211aa.2112aa二阶行列式的计算若记,22211211aaaaD.,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组系数行列式.,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD,2221211ababD.,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD.2211112babaD则二元线性方程组的解为,222112112221211aaaaababDD注意分母都为原方程组的系数行列式..222112112211112aaaababaDD211222112122211aaaabaabx211222112112112aaaaabbax例1.12,12232121xxxx求解二元线性方程组解1223D)4(3,07112121D,14121232D,21DDx11,2714DDx22.3721(二)三阶行列式的定义解三元一次方程组111122133121122223323113223333axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb由（1）（2）消x3,同理（1）（3）消x3得1111221331111122133121122223323113223333axaxaxbaxaxaxb,axaxaxbaxaxaxb11231321112231322212321311