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阵列信号处理中的DOA（窄带）空域滤波波束形成：主要研究信号发射/接收过程中的信号增强。空间谱估计空域参数估计：从而对目标进行定位/给空域滤波提供空域参数。测向波达方向估计(DOA)空间谱：输出功率P关于波达角θ的函数，P(θ).延迟——相加法/经典波束形成器注，延迟相加法和CBF法本质相同，仅仅是CBF法的最优权向量是归一化了的。1、传统法常规波束形成CBF/Bartlett波束形成器常规波束形成（CBF：ConventionalBeamFormer）Capon最小方差法/Capon波束形成器/MVDR波束形成器最小方差无畸变响应（MVDR：minimumvariancedistortionlessresponse）Root-MUSIC算法多重信号分类法解相干的MUSIC算法（MUSIC）基于波束空间的MUSIC算法TAM旋转不变子空间法LS-ESPRIT（ESPRIT）TLS-ESPRIT确定性最大似然法（DML：deterministicML）3、最大似然法随机性最大似然法（SML：stochasticML）4、综合法：特性恢复与子空间法相结合的综合法，首先利用特征恢复方案区分多个信号，估计空间特征，进而采用子空间法确定波达方向最大似然估计法是最优的方法，即便是在信噪比很低的环境下仍然具有良好的性能，但是通常计算量很大。同子空间方法不同的是，最大似然法在原信号为相关信号的情况下也能保持良好的性能。大特征值对应的特征矢量：信号子空间小特征值对应的特征矢量：噪声子空间无法超过瑞利限的制约，分辨率上有本质的局限性。2、子空间法阵列信号处理波达方向估计的算法子空间算法可以突破瑞利限,达到较高的分辨率计算量小，不需进行谱峰搜索阵列流形矩阵（导向矢量矩阵）只要确定了阵列各阵元之间的延迟τ，就可以很容易地得出一个特定阵列天线的阵列流形矩阵A。传统的波达方向估计方法是基于波束形成和零波导引概念的，并没有利用接收信号向量的模型（或信号和噪声的统计特性）。知道阵列流形A以后，可以对阵列进行电子导引，利用电子导引可以把波束调整到任意方向上，从而寻找输出功率的峰值。①常规波束形成(CBF)法CBF法，也称延迟—相加法/经典波束形成器法/傅里叶法/Bartlett波束形成法,是最简单的DOA估计方法之一。这种算法是使波束形成器的输出功率相对于某个信号为最大。（参考自：阵列信号处理中DOA估计及DBF技术研究_赵娜）注意：理解信号模型注意：上式中，导向矩阵A的行向量表示第K个天线阵元对N个不同的信号s(i)的附加权值，列向量表示第i个信号s(i)在M个不同的天线上的附加权值。将式（2.6）的阵元接收信号，写成矢量形式为：X(t)=AS(t)+N(t)其中，X(t)为阵列的M×1维快拍数据矢量，N(t)为阵列的M×1维噪声数据矢量，S(t)为信号空间的N×1维矢量，A为空间阵列的M×N维阵列流型矩阵（导向矢量矩阵），且A=[a1(ω0)a2(ω0)…aN(ω0)]其中，导向矢量ai(ω0)为列矢量，表示第i个信号在M个天线上的附加权值ai(ω0)=[𝑒𝑥𝑝(−𝑗𝜔0𝜏1𝑖)𝑒𝑥𝑝(−𝑗𝜔0𝜏2𝑖)⋮𝑒𝑥𝑝(−𝑗𝜔0𝜏𝑀𝑖)]，𝑖=1,2,…,𝑁式中，𝜔0=2𝜋𝑓=2𝜋𝑐𝜆,其中，c为光速，λ为入射信号的波长。对于均匀线阵，第k个天线阵元对接收到的第i个信号s(i)的时间延时为𝜏𝑘𝑖，则有：𝜏𝑘𝑖=(𝑘−1)𝑑𝑠𝑖𝑛𝜃𝑖𝑐⁄，k=1,2,…,M，其中，d为阵元间距，一般取d=𝜆/2。第i个信号在天线阵元上的入射角为𝜃i。由上述的知识可知,一旦知道阵元间的延迟表达式τ,就很容易得出特定空间阵列的导向矢量或阵列流型。波束形成技术的基本思想：通过将各阵元输出进行加权求和,在一时间内将阵列波束“导向”到一个方向上,对期望信号得到最大输出功率的导向位置即是波达方向估计值,如图1所示。假设空间存在M个阵元组成的阵列,N个信号源，各阵元的权矢量为𝑤=[𝑤1𝑤2…𝑤𝑀]𝑇阵列的输出为𝑦(𝑡)=𝑤𝐻𝑥(𝑡)=∑𝑤𝑖∗𝑀𝑖=1𝑥𝑖(𝑡)则整个阵列输出的平均功率为𝑃(𝑤)=1𝐿∑|𝑦(𝑡)|2=𝑤𝐻𝐸{𝑥(𝑡)𝑥(𝑡)𝐻}𝑤=𝑤𝐻𝑅𝑤𝐿𝐼=1其中，R为接收信号矢量x(t)的自相关矩阵图1阵列信号处理示意图假设来自θ方向的输出功率最大,则该最大化问题可表述为：𝜃=𝑎𝑟𝑔𝑚𝑎𝑥𝑤[𝑃(𝑤)]=𝑎𝑟𝑔𝑚𝑎𝑥𝑤[𝐸{𝑤𝐻𝑥(𝑡)𝑥(𝑡)𝐻𝑤}]=𝑎𝑟𝑔𝑚𝑎𝑥𝑤[𝑤𝐻𝐸{𝑥(𝑡)𝑥(𝑡)𝐻}𝑤]=𝑎𝑟𝑔𝑚𝑎𝑥𝑤[𝐸|𝑠(𝑡)|2|𝑤𝐻𝑎(𝜃)|2+𝜎2‖𝑤‖2]为了使加权向量w的权值不影响输出信噪比，在白化噪声方差𝜎2一定的情况下，取‖𝑤‖2=1，此时求解为：𝒘𝑪𝑩𝑭=𝒂(𝜽)√𝒂𝑯(𝜽)𝒂(𝜽)此时Bartlett波束形成器的空间谱为：𝑃𝐶𝐵𝐹(𝜃)=𝑤𝐶𝐵𝐹𝐻𝑅𝑤𝐶𝐵𝐹=𝑎𝐻(𝜃)𝑅𝑎(𝜃)𝑎𝐻(𝜃)𝑎(𝜃)延迟—相加法（本质和Bartlett算法相同，仅最优权向量不同，后者的最优权是归一化了的。）（参考自：阵列信号处理中的DOA估计技术研究_白玉）k时刻，令x(t)=u(k)，s(t)=s(k),n(t)=n(k),上面公式中：𝑃𝑐𝑏𝑓(𝜃)=𝑃(𝑤)，𝒖(𝒌)=𝒙(𝒕),令u(k)=a(θ)s(k)+n(k)，波束形成器输出信号y(k)是传感器阵元输出的线性加权之和,即y(k)=wHu(k)(2-1)传统的波束形成器总的输出功率可以表示为：Pcbf=E[|y(k)|2]=E[|wHu(k)|2]=wHE[u(k)uH(k)]w=wHRuuw(2-2)式中,Ruu定义为阵列输入数据的自相关矩阵。式(2-2)在传统DOA估计算法中的地位举足轻重。自相关矩阵Ruu包含了阵列响应向量和信号自身的有用信息,仔细分析Ruu，可以估计出信号的参数。考察一个以角度θ入射到阵列上的信号s(k)，则有u(k)=a(θ)s(k)+n(k)。根据窄带输入数据模型,波束形成器的输出功率可以表示成:Pcbf(θ)=E[|wHu(k)|2]=E[|wH(a(θ)s(k)+n(k))|2]=|wHa(θ)|2σs2+|wH|2σn2(2-3)式中，σs2=E[s(k)2]，a(θ)是关于DOA角θ的导引向量，n(k)是阵列输入端的噪声向量。当w=a(θ)时，系统的输出（信号）功率达到最大。这是因为，权值向量w在传感器阵元处和来自方向θ的信号分量相位对齐，使得它们能够同相相加，从而使系统的输出功率相对于某个信号为最大。在DOA估计的经典波束形成方法中，波束形成器产生的波束在感兴趣的区域中离散地扫描，对应不同的θ可以产生不同的权向量：𝒘𝒚𝒂𝒏𝒄𝒉𝒊=𝒂(𝜽)从而得到的输出功率也不相同。利用式(2-3),经典波束形成器的输出功率与波达方向的关系由下式给出:Pcbf(θ)=wHRuuw=aH(𝜃)Ruua(𝜃)(2-4)因此，如果我们对输入自相关矩阵进行估计,知道对所有感兴趣的导引向量（通过校准或分析计算），就可能估计出输出功率关于波达角θ的函数。输出功率关于波达角的函数通常称为空间谱(spatialspectrum)。很明显,通过锁定式(2-4)定义的空间谱的峰值就可以估计出波达方向。最大的功率对应着最大的峰值，而最大的空间谱峰．．所对应的角度方向即为信号的波达方向。延迟—相加法(常规波束形成器法)，CBF法(Bartlett波束形成器法）具有一定的局限性，可以很好的识别单个信号，但是当存在着来自多个方向的信号时，该方法要受到波束宽度和旁瓣高度的制约，因而这种方法的分辨率较低，只能大致分辨出信号所处的角度范围。这是因为，延迟—相加法是把阵列形成的波束指向某个方向，由此可以获得来自于这个方向的信号的最大功率。就单个信号而言，延迟—相加法可以很好地估计出它的波达方向。但是当信号空间中存在多个信号的时侯，因为波束宽度的限制，受到同一个波束内信号之间的相互干扰，延迟—相加法的估计性能就会急剧的下降。增加阵列的阵元数（M）可以改善延迟—相加法的性能，提高分辨率，但是这会使系统更加复杂，还会增加算法的计算量和数据存储空间。②Capon最小方差法(Capon波束形成器，也称MVDR波束形成器)最小方差无畸变响应（MVDR）波束形成器解决了延迟—相加法分辨率差的缺点，用一部分自由度在期望方向上形成一个波束，利用剩余的一部分自由度在干扰方向形成零陷。这种方法使得输出功率和信号方差达到最小，使得非期望干扰信号的贡献为最小，同时使观测方向上的增益达到最大，约束条件为wHa(θ)=1，使得来自期望方向的信号功率不变。其优化问题表述为：𝜃=𝑎𝑟𝑔𝑚𝑖𝑛𝑤[𝑃(𝑤)]约束条件为：𝑤𝐻𝑎(𝜃)=1综合上式求解w为：𝑤𝐶𝐴𝑃=𝑅−1𝑎(𝜃)𝑎𝐻𝑅−1𝑎(𝜃)此时Capon波束形成器的空间谱为：𝑃𝐶𝐴𝑃=𝑤𝐶𝐴𝑃𝐻𝑅𝑤𝐶𝐴𝑃=1𝑎𝐻𝑅−1𝑎(𝜃)Capon算法比延迟—相加法有了一定程度的改进，可以对多个信号进行DOA估计。但是Capon算法只能分辨非相干信号，当存在与感兴趣信号相关的其它信号时，它就不能起作用了。这是因为Capon算法在运算的过程中使用到了信号的自相关矩阵，因而不能对干扰信号形成零陷。也就是说，在使得输出功率为最小的过程当中，相关分量可能会恶性合并。此外，Capon算法运算时需要对信号的自相关矩阵求逆，当阵列加大时会有巨大的运算量。对于任意的Φ,PCapon(Φ)是来自方向Φ的信号功率的最大似然估计。多重信号分类（MUSIC）算法为代表的子空间分解类算法开始兴起。这一类算法有一个共同的特点，就是需要对阵列的接收数据矩阵进行数学分解（如奇异值分解、特征值分解和QR分解等），将数据分解成两个互相正交的特征子空间：一个是信号子空间，另一个是噪声子空间。子空间类算法按照处理方式的不同可以分成两类：一种是以MUSIC算法为代表的噪声子空间类算法另一种是以ESPRIT算法为代表的信号子空间类算法。式中,Rs是信号相关矩阵(signalcorrelationmatrix),E[ssH]。R的特征值为{λ0,λ1,,λ2,….,λM-1},使得|R−λiI|=0(2-12)利用式(2-11),我们可以把它改写为|ARsAH+𝜎𝑛2I-𝛌iI|=|ARsAH-(𝛌i-𝜎𝑛2)I|=0(2-13)因此ARsAH的特征值(eigenvalues)ν𝒾为ν𝒾=𝛌i-σn2(2-14)因此A是由线性独立的导引向量构成的,因此是列满秩的,信号相关矩阵Rs也是非奇异的,只要入射信号不是高度相关的。列满秩的A和非奇异的Rs可以保证,在入射信号数L小于阵元数M时,M×M的矩阵ARsAH是半正定的,且秩为D。这意味着ARsAH的特征值ν𝒾中,有M-L个为零。由式(2-14)可知,R的特征值𝛌i中有M-L个等于噪声方差σn2。该M-L个最小特征值𝛌i相关的特征向量,和构成A的L个导引向量正交。噪声子空间和信号子空间是相互正交的，而由导向矢量所张成的空间与信号子空间是一致的。应当指出，与传统方法不同，MUSIC算法在估计信号功率时并没有考虑波达角。在噪声与信号源非相关的环境下，可以确保PMUSIC(θ)的谱峰对应着信号的真实方向。由于PMUSIC(θ)的峰值是可以分辨的，并且与信号之间的真实角度间隔没有关系，因此从理论上来讲，只要阵元位置校准的足够准确，MUSIC算法就可以分辨出两个邻近的信号。但是当入射信号之间彼此高度相关时，自相关矩阵Rxx会变成奇异矩阵，这将导致MUSIC算法失效。旋转不变子空间算法（ESPRIT）是空间谱估计算法中的