社会统计学(卢淑华)-第十三章

第十三讲方差分析（定类—定距）（x、y属丌同变量层次）定类——定距是常见的现象：性别——考试成绩地区——平均收入民族——离婚率方差分析：分析或检验总体间均值是否有所不同，而不是方差是否不同。检验所用的手段则是通过方差来进行的。种类：一元方差分析（一个定类变量）二元方差分析三元方差分析不只一个第一节一元方差分析一、方差分析的假定1、与回归的比较（定距——定距）自变量控制后，因变量是一连串的值（yi为随机变量）回归：可以找出自变量与因变量之间的变化方向。方差：自变量取不同类别时，因变量yi的均值是否有所不同例：回归不方差分析比较职业声望受教育程度8018706050401512108职业子女数工人（4人）2；1；3；2；干部（3人）农民（3人）1；2；1；2；3；4；21m2、方差分析的假定：（对因变量分布的必要限制，只有总体分布满足这些限制的条件下，方差分析的讨论才是有意义的）1）等方差性总体中，自变量xi的每一个数值A1,A2,Am对应的因变量yi的分布都具有相同的方差222注意：1、总体方差相等，样本方差不一定相等。2、来自等总体的样本方差不会相差太远，最大与最小相差不超过2-3倍。3、总体方差可通过样本方差进行点估计。公式：样本容量的加权：n11S12n21S22n11n21S22）yi的分布为正态形要求每一个Ai所对应的yi分布都呈正态性（与回归一致）总结：yi应满足正态分布Nui,2二、方差分析的检验：设：总体自变量A共分为m类，A1,A2,Am从A1中抽取n1A2n2Amnm则有统计表：A1A2Am2122m1m2y1n1y2n2ynmmy11y12yyyyy1y2ym原假设H0：u1u2um备择假设H1：有一个以上类别，其均值不等统计量：BSSRSSFm1nmFm1,nm当FF时，拒绝原假设当FF时，接受原假设总平方和：TSS(yijy)组间平方和：BSS(yiy)ni(yiy)mnim统计量的推导不计算222TSSBSSRSSi1j1i12i1j1mnii1j1yyijnniyiij11n1ninij1总平均值：y第i类样本的组平均值：yi统计量的计算还需：观测总数：nni例：下列资料，迚行方差检验。教师（n=5)读书数（本/年）81012205学生（n=5）读书数（本/年）1036125yijyE1TSS2ijyyRSS。2ERSSi当方差分析检验呈显著性后，讨论两变量之间的相关程度，用减少误差比例PRE的方法：E1：不知因变量y与自变量取值A1,A2,Am有关时，预测y所犯的错误，其值为TSS。mni1j1E2：知道因变量y与自变量取值A1,A2,Am有关后，预测y时所犯的错误，其值等于mn2i1j12三、相关比率etaE1E2TSSRSSBSSBSS为已经被自变量解释掉的误差，解释掉的误差越大，变量之间的关系越密切，因此：TSSeta2BSS例：已知：BSS=3.5RSS=95求eta2练习：以下资料求eta2甲地（家庭人口数）67735乙地（家庭人口数）44535丙地（家庭人口数）33242第三节二元方差分析（自变量增加到两个)一、二元方差分析的数学模型（一）两种模型1、自变量A、B独立的对因变量发生影响：独立模型（或线性可加性模型）每一观测值yi均为三种以上因素作用的结果：yijyAi的效果Bj的效果ij2、同时考虑A、B两变量的交互影响：交互模型：yijyAi的效果Bj的效果ABij交互作用ij（二）两种模型对观测值数目的要求1、对独立模型：A共有a种取值，B共有b种取值，对于可能取值ab种搭配，每种情况只要随机抽取一次，组成ab个观测值即可。2、对具有交互作用的模型：如果ab种搭配只进行一次观测，则无法区别数据的变化是由于自变量的交互作用，还是外界未知因素干扰的结果。因此，对于ab种搭配，每种情况至少要观测2次，则总观测数为abrr2A与B两个变量独立，图形是平行线（三）、忽略外界干扰因素后的两种模型的图形：01、理想的独立模型yijyAi的效果Bj的效果例：教员不同教学方法(A)和不同性格(B)对教学效果的影响。A1注入式教学法A2启发式教学法B1性格内向B1性格外向2、理想的交互模型：yijyAi的效果Bj的效果ABij交互作用线段失去平衡是变量间存在交互作用的标志。使每种搭配至少测量二次以上。2rBA（四）实际的模型在存在干扰情况下ij，上述线段不再是平行线，有三种情况：1、本身为独立模型，其图形为非平行性是由外界随机因素干扰而成的：yijyAi的效果Bj的效果ij2、非平行性是由交互作用引起的。yijyAi的效果Bj的效果ABij交互作用3）非平行性由交互因素和随机因素引起的。yijyAi的效果Bj的效果ABij交互作用ij由于交互影响（长驻）与随机干扰（随机）性质不同，因此，为使交互作用表现出来，必须ij二、无重复情况下二元方差分析（一）无重复情况下二元方差分析的假定和假设。原假设H0为：1、ai0i1a2、i0j1b备择假设H1为：参数不全为0（二）、方差分析的检验统计量的推导（平方和的分析法）1、样本观测值T*1T*2T*jB1B2BjBbA1y11y12A2Aiy21yi1y22yi2Aaya1ya2y1jy2jyijyajy1bT1*y2bT2*yibTi*yabi1yijaT*jj1yijbTi*yiyijai1yibj1yj2、行平均值yj1a1ayjy1a1b1ab5、总离差平方和TSS2AByj是A的平均值，因此，A的影响已被抵消，只反映变量B对A的影响。3、列平均值yi：按列将观测值加总求平均1a1b4、总平均值Ti*T**1BssAbi1：变量B的离差平方和（已被变量B：剩余平方和未被A、B解释掉的误差7、BssB8、Rss6、BssA：变量A的离差平方和（已被变量A解释掉的错误）2a2ab解释掉的错误）2b2Rss9、变量A的平均离差平方和10、变量B的平均离差平方和BssAa1BssAa1为自由度BssBb1BssBb1为自由度11、平均剩余误差平方和Rssa1b1a1b1为自由度Fb1a1b1FB统计量：RssRssAFAFa1a1b1FRssBRss根据显著性水平，查附表得AB若：AA显著即拒绝域，原假设不成立FAA相反，接受域，原假设成立；FBB显著即拒绝域，原假设不成立FBB相反，接受域，原假设成立ijk相互独立，且有0,三、重复情况下的二元方差分析i备择假设H1：参数不全为0(一）、假设与假定除考虑自变量A和B的独立作用外，还要A和B的交互作用，其数学模型为：yijkuaijaijijkk1,2r(r为ABj每种搭配重复数）2原假设H0：ai0j00aijT***yijkabryyj（二）、重复情况下二元方差分析的检验对每一种搭配各进行r次重复的独立观测，得到a、b、r个样本观测值。1、总平均值：1abr2、行平均值：T*j*ar3、列平均值：yiTi**brTssBssABssBTT***4、格平均值：TrijyijRssAB5、总离差平方和TSS：2yijky6、BssA：列间平方和——变量A解释掉的误差。2i**brabrBssABssBTTTTRssyijkyij22ij****rabrBss7、行间平方和：22*j****arabr8、交互作用：ABABBssBssABssB9、剩余误差RSS：2RssTssBssABssBAB检验的统计量为：H0：aij0H1：不全为0统计量：abr1a1b1FABABRssABRssFa1b1,abr1TRssTRssAFH0：ai0H1：不全为0统计量：RssARssAabrab1a1Fa1,abrab1FBTRssTRssH0：ai0H1：不全为0统计量：abrab1b1BssBBssBFb1,abrab1给出，查表，对于临界值如果ABAB：拒绝原假设