复习：曲顶柱体的体积

YunnanUniversity§1.二重积分的计算复习：曲顶柱体的体积(,),((,)0),,;,zfxyfxyabcd求以为高矩形为底的曲顶柱体的体积。yxzOabcd),(yxfzYunnanUniversity§1.二重积分的计算i),(ii(,)iiiiVfyxzOabcd),(yxfz取极限求和近似代替分割分割近似代替求和取极限01lim(,)niiidiVf＝YunnanUniversity§1.二重积分的计算求曲顶柱体体积步骤如下：⑴分割：将矩形任意分为n块可求面积的小块[,;]abcd，12,,n，其面积仍记为。相应地将曲顶柱体分割成n个小曲顶柱体，分别记为12,,,n12,,nVVV，⑵近似代替：在每一小块上任意取一点则小曲顶柱体的体积可用直柱体的体积近似代替，即(,)iiiMiV(,)iiiiVfYunnanUniversity§1.二重积分的计算⑶求和：把n个小曲顶柱体的体积相加，便得到所求曲顶柱体体积的近似值11(,)nniiiiiiVVf取极限，如果该极限存在，那末此极限值就定义为曲顶柱体的体积。这个和式的极限正好就是上一章引进的二重积分，故所求曲顶柱体的体积，等于相应的二重积分的值：01[,;,]lim(,)(,)niiidiabcdVffxydxdy⑷取极限：记在和式中令1max{},iind的直径0dYunnanUniversity§1.二重积分的计算由于此曲顶柱体的底面是一矩形，所以此曲顶柱体的体积还可以用另一种方法来计算。先复习定积分应用中的一个结果：设空间立体位于平面与平面之间，用与轴垂直的平面截立体，截得截面的截面面积为，则此立体的体积为xaxbx()sx()baVsxdx)(xsabx化二重积分为二次积分YunnanUniversity§1.二重积分的计算yxzOabcd)(xS作与轴垂直的平面，设截得曲顶柱体截面的面积为()Sxx立体位于平面与平面之间，xaxb则曲顶柱体体积为()baVsxdxxYunnanUniversity§1.二重积分的计算而就是平面上，由曲线与直线所围成的曲边梯形的面积，所以)(xSxX(,)zfxy,,0ycydz()(,)dcSxfxydy从而()(,)(,)bbdbdaacacVsxdxfxydydxdxfxydy因此[,;,](,)(,)bdacabcdfxydxdydxfxydy[,;,](,)(,)dbcaabcdfxydxdydyfxydx类似地，也可以用与轴垂直的平面来截曲顶柱体，同样可得yYunnanUniversity§1.二重积分的计算从上面的分析，可以得到下列结果：[,;,](,)(,)(,)bddbaccaabcdfxydxdydxfxydydyfxydx[,;,](,)(,)bdacabcdfxydxdydxfxydy定理1设在矩形上可积，含参变量积分存在，则[,;,]abcd(,)fxy[,]xab()(,)dcFxfxydyYunnanUniversity§1.二重积分的计算,ab证明：在插入分点012naxxxxb,cd在插入分点012ncyyyyd11,;,1,2,,;1,2,,ikiikkxxyyirks记1,,,.iiiikikxxfxyMm在区间中任取一点又记的上、下确界为和于是1,kkyikykiikykymfydyMYunnanUniversity§1.二重积分的计算k对所有的相加，得,dikkiikkckkmyfydyMyixi再乘，对所有相加：,,ikikiiikikikiikmxyFxMxymax0,,ikddfxyFxab记的直径，当时，注意到的可积性，利用上述不等式，立即得出在可积，且[,;,](,)baabcdFxdxfxydxdyYunnanUniversity§1.二重积分的计算设在矩形上连续，则[,;,](,)(,)(,)dbbdcaacabcdfxydxdydyfxydxdxfxydy[,;,]abcd(,)fxy我们经常使用的是连续函数，对连续函数有下列结果：[,;,](,)(,)dbcaabcdfxydxdydyfxydx定理2设在矩形上可积，含参变量积分存在，则[,;,]abcd(,)fxy[,]yab()(,)baFyfxydx类似地可以给出先对后对积分的结果：yxYunnanUniversity§1.二重积分的计算前面讨论了矩形区域上的二重积分的计算方法，下面考虑一般区域上二重积分的计算。第一种情形：积分区域D由两条曲线及两条直线围成，即12(),()yyxyyx,xaxb这种区域的特点是：与轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于y轴的直线段。xyx)(2xyy)(1xyyab根据积分区域的特点，分三种情况讨论。12{(,)|()(),}DxyyxyyxaxbYunnanUniversity§1.二重积分的计算作包含此积分区域的矩形[,;,]abcd令(,),(,)(,)0,(,)fxyxyDFxyxyD于是21[,;,]()()(,)(,)(,)(,)DabcdbdbyxacayxfxydxdyFxydxdydxFxydydxfxydyyx)(2xyy)(1xyyabcdx这时二重积分可化为先对后对的二次积分。yxYunnanUniversity§1.二重积分的计算12{(,)|()(),}Dxyxyxxycyd21()()(,)(,)dxycxyDfxydxdydyfxydx这时二重积分可化为先对后对的二次积分。yx)(1yxx)(2yxxydcxo这种区域的特点是：与轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于x轴的直线段。y12,,Dxxyxxyycyd第二种情形：积分区域由曲线和直线所围成YunnanUniversity§1.二重积分的计算第三种情形：一般情形，这时可用平行于轴与平行于轴的直线将积分区域分成上述两种情形求解。yx1D2D3D4DYunnanUniversity§1.二重积分的计算X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别使用积分公式.321DDDD则必须分割.YunnanUniversity§1.二重积分的计算xy1例1改变积分xdyyxfdx1010),(的次序.原式ydxyxfdy1010),(.解积分区域如图YunnanUniversity§1.二重积分的计算xy222xxy例2改变积分xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的次序.原式102112),(yydxyxfdy.解积分区域如图YunnanUniversity§1.二重积分的计算例3改变积分)0(),(20222adyyxfdxaaxxax的次序.axy2解=ayaaaydxyxfdy02222),(原式aayaadxyxfdy0222),(.),(2222aaaaydxyxfdy22xaxy22yaaxa2aa2aYunnanUniversity§1.二重积分的计算例4求Ddxdyyx)(2，其中D是由抛物线2xy和2yx所围平面闭区域.解两曲线的交点),1,1(,)0,0(22yxxy2()Dxydxdy1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)](21)([42102.140332xy2yx2xy2yxYunnanUniversity§1.二重积分的计算例5求Dydxdyex22，其中D是以),1,1(),0,0()1,0(为顶点的三角形.dyey2无法用初等函数表示解积分时必须考虑次序22yDxedxdyyydxexdy02102dyyey10332210262dyyey).21(61eYunnanUniversity§1.二重积分的计算例6计算积分yxydxedyI212141yyxydxedy121.解dxexy不能用初等函数表示先改变积分次序.原式xxxydyedxI2211121)(dxeexx.2183ee2xyxyYunnanUniversity§1.二重积分的计算例7求由下列曲面所围成的立体体积，yxz，xyz，1yx，0x，0y.解曲面围成的立体如图.zyxoYunnanUniversity§1.二重积分的计算,10yx,xyyx所求体积DdxyyxV)(1010)(xdyxyyxdx103])1(21)1([dxxxx.247所围立体在xoy面上的投影是YunnanUniversity§1.二重积分的计算解设这两个直交圆柱面的方程为：222ayx222azx由图形的对称性8.V例求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积228DVaxdxdy2222008aaxdxaxdy2208aaxdy3163aYunnanUniversity§1.二重积分的计算二、用极坐标计算二重积分AoDiirriirrriiiiiiiiirrr2221)(21iiiirrr)2(21iiiiirrrr2)(,iiirr.)sin,cos(),(DDrdrdrrfdxdyyxfYunnanUniversity§1.二重积分的计算.)sin,cos()()(21rdrrrfdADo)(1r)(2rDrdrdrrf)sin,cos(二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图,).()(21rYunnanUniversity§1.二重积分的计算区域特征如图,).()(21r.)sin,cos()()(21rdrrrfdDrdrdrrf)sin,cos(AoD)(2r)(1rYunnanUniversity§1.二重积分的计算AoD)(r.)sin,cos()(0rdrrrfd二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图,).(0rDrdrdrrf)sin,cos(YunnanUniversity§1.二重积分的计算Drdrdrrf)sin,cos(.)sin,cos()(020rdrrrfd极坐标系下区域的面积.Drdrd二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图).(0rDoA)(r,20YunnanUniversity§1.二重积分的计算例9写出积分Ddxdyyxf),(的极坐标二次积分形式，其中积分区域,11|),{(2xyxyxD}10x.1yx122yx解在极坐标系下cossinxryr所以圆方程为1r,直线方程为cossin1