阵列信号处理6ESPRIT类算法

雷达信号处理RadarSignalProcessing电波传播实验室（RWPL）周浩[e-mail]第6章ESPRIT（旋转不变子空间技术）类DOA估计算法EstimationofSignalParametersviaRotationalInvarianceTechniquesⅠ.引言信号处理的目标是从测量值中估计出接收到信号所依赖的一系列参数，高分辨率的到达角（DOA）估计问题就是信号参数估计中重要的一类。Schmidt提出的子空间方法MUSIC，由于在实际问题中给出了很好的结果而在近些年得到了广泛的应用。然而，尽管MUSIC的性能优势很明显，但这却是以可观的计算量（参数空间搜索）和存储量（阵列流形）为代价获得的。这里介绍ESPRIT算法，它和MUSIC一样应用了正确的信号模型，估计的结果渐近无偏、有效。不仅如此，ESPRIT比MUSIC有显著的优点。a)ESPRIT不需要天线阵元位置和阵元特性的信息，从而不必进行阵列校准和阵流形存储的工作。b)ESPRIT的计算复杂性有实质上的减小。c)ESPRIT算法的稳健性更好。当然，ESPRIT算法的优越性的获得是有代价的，在DOA估计中，就是要求天线阵具有平移不变性。幸运的是，这个限制在很多实际应用中是满足的或是可以被满足的。Ⅱ.ESRRIT接下来的讨论都是以一个阵列所接收数据的多源到达角问题来表述的。只考虑一维参数空间的情况，也就是远场点源的方位角分辨。A.阵列几何结构ESPRIT保留了任意阵列的多数本质特性，它对阵列结构的限制就是要求阵元以具有相同平移矢量的匹配对的形式存在，这一点通过下面的例子很容易解释。图1应用ESPRIT进行多源DOA估计的阵列几何特性B.数据模型假设有dm个中心频率为的窄带信号源，并且信号位于远场从而在均匀各向同性的介质中到达阵列的是平面波。加性噪声在所有2m个天线单元上存在，是平稳零均值随机过程。0将阵列描述为由两个子阵和组成。和在各方面都是相同的，只是彼此有一个已知的位移矢量的偏移。第i个偶极天线的接收信号可以表达为其中是第k个信号源的到达角。xZxZyZyZ)()()()(1tnatstxxidkkiki)()()()(1/sin0tnaetstyyidkkicjkikk将两个子阵中每一组阵元的输出结合起来，接收数据矢量可以写成如下形式：矩阵是两个子阵间相位延迟形成的对角阵。表示为，其中。被称为旋转算子)()()(tntAstxx)()()(tntsAtyy},,{1djjeediagckk/sin0定义整个阵列的输出矢量为z(t)正是的结构用来得到的对角元素的估计值而不需要知道A的信息)()()()()(tntsAtytxtzzAAA)()()(tntntnyxzAC.ESPRIT-不变性方法在已知d个信号源的情况下，ESPRIT算法基于如下结论：无噪声时，同以前一样信号子空间可以通过采集足够数目的测量值并找到所有的d个线性独立矢量而获得。数据的协方差为对应d个最大特征值的特征矢量构成信号子空间nsszzARAR2*]||[1dnseeE由于的列矢量构成的子空间与各列矢量构成的子空间是相同的。必然存在非奇异矩阵T，使得。此外，阵列的不变性结构意味着可以分解为和，从而从上式容易看出sEATAEssExEyETAATEEEyxs}{}{}{ARERERyx由于和共享列空间，定义它的秩为d。这意味着存在一个2dd阶矩阵F，使得（*）定义，xEyE]|[yxdefxyEEEyyxxyxFEFEFEE]|[0.yxTFAATF1][yxdefFF式（*）重新整理为如果A是满秩的，则有从上式可见，的特征值就是的对角线元素，表明了信号入射角，因此，计算过程并不需要知道A。ATATTAAT11TTkjeD.子空间旋转算子的估计实际应用中，我们只能得到有限的有噪声的测量数据。这样就只是的估计值，从而有可能，甚至。所以这时我们无法找到使得。必须寻找一个准则以获得的合适估计，通常情况下应用的是最小二乘（LS）估计。}{sERzS}{}{ARERs}{}{yxERERyxEE假设模型中，A已知且误差由B引起，若要获得X的估计通常应用标准的LS准则。这里容易证明和中同样存在噪声，那么LS准则就是不合适的。考虑A和B都有噪声存在的准则是整体最小二乘（TLS）。BAXxEyE应用TLS准则得到的估计步骤为：令F为的d个最小特征值对应的特征矢量。这样，如上所定义的由和计算得到，的特征值就是的对角元素的估计。XYXYEE*XFYFIII．仿真结果A.独立信号源的情况选择天线阵为8阵元的均匀线阵，阵单元间间距为半个工作波长，两个独立窄带等功率信号源位于远场，其入射角分别为80°、84°。噪声为加性零均值高斯白噪声，信噪比为15db。快拍数为16，独立进行1000次实验，结果如图所示。767778798081828384858687880102030405060708090100HistogramofMUSICresultDOA(deg)His/bin(0.1/bin)MUSICfailurerate38.9%767778798081828384858687880102030405060708090100HistogramofESPRITresultDOA(deg)His/bin(0.1deg/bin)图2应用MUSIC和ESPRIT算法的结果比较实验中在MUSIC算法和ESPRIT算法中都假设信号源数已知，应用MUSIC算法有38.9%的失效，这里的失效指得到的到达角超出了[76°，88°]的范围。而应用ESPRIT算法就不存在这个问题，所有的到达角估计都落在了这个区间内。ESPRIT算法得到的参数均值和方差分别为79.99°0.28°和84.00°0.26°。对于成功的611次MUSIC估计，其均值和方差分别为80.29°0.20°和83.71°0.19°。观察ESPRIT的有效性随信噪比变化的情况，信噪比以1db的间隔从-5db变化到30db，对每一信噪比情况独立实验100次。每次实验的快拍数仍为16，并与同样情况下的MUSIC算法作比较，结果如图所示。-505101520253000.10.20.30.40.50.60.70.80.91SNR(db)ProbabilityMUSICESPRIT观察ESPRIT的有效性随快拍数变化的情况，信噪比为15db。结果如图所示。010203040506000.10.20.30.40.50.60.70.80.91SnapshotProbabilityESPRITMUSICB.应用于模拟海洋回波数据的结果及分析上述分析及模拟均是考虑信号源独立分布的情况，而海洋回波中的“信号源”实际上是分布于一定面积区域和特定海水深度范围内的连续体。对于如此特殊的信号源，ESPRIT的估计性能还需进一步模拟分析。a.模拟海洋回波的产生我们利用模拟产生每根天线上相对于海洋表面特定距离元一阶散射回波的时域序列，对应于OSMAR2000中第一次FFT之后特定距离元上的数据。对特定的天线阵元应用下面的式子求取时域序列)(),()()()(tCtetnoiseiijinnin式中天线单元的方向性因子由描述，这里；为来自方向的回波在不同天线阵元上的相位差别，对于均匀线性阵列，第n个天线单元的相角由给出。由于海洋一阶回波是由朝向或背离雷达方向运动的Bragg波列与雷达发射电波作用的结果，因此可以写为：)(in1)(in)(injei)cos(2)(iinnd),(titjtjiBBeAeAt)()(),(为正负Bragg圆频率，为相应于海水表面流的径向速度的多普勒频移。定义系数为：其实部与虚部是均值为零，方差正比与海浪能谱中Bragg频率处的能量的高斯随机变量。假设海洋表面状态充分发展，且有均匀分布的风，则风向与Bragg波列的能量有关系：这里取。BA22,0,babajbaA)2(cosis01.0,4sb.模拟结果及分析首先用平行于海岸的均匀海流来观察不同算法反演海流的结果。假设海洋表面状态充分发展，风向恒定为60度，则对应于到达角的回波能量有一定的回波能量。采用8元均匀放置的单极子线天线阵，阵单元间距为17米，雷达工作波长为40米，采样间隔为0.7264秒，采样长度为1024。对确定距离元上模拟得到的合成的回波多普勒功率谱，进行一阶区的分离及一阶区内有效频点的提取，这里设定提取可用频点的门限为10dB。然后对一阶区内每一有效频率信号（对应于径向流速）利用ESPRIT和MUSIC分别求出不同流速对应的方位。此时对每一频点，其协方差矩阵由16个样本平均生成。右图给出了平行海岸的海流剖面和算法反演得到的测量值，信噪比约为25dB。20406080100120140160-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5DOACurrentcm/s.MUSIC*ESPRITSNR=25dBSNRThreshold=10dB右图是信噪比为11dB时反演得到的流速。20406080100120140160-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5DOACurrentSNR=11dBSNRThreshold=10dB可以看到，ESPRIT和MUSIC得到了几乎相同的结果。两种算法反演得到的流速都较好的描述了海流特性。可以看到，信噪比对反演的流速性能的影响主要是在提取可用频点时的影响，即在这种海流剖面的条件下，ESPRIT有着与MUSIC相似的性能。IV．讨论以上我们讨论了ESPRIT算法到达角估计问题中的应用。ESPRIT较以前的算法有很多优越性，比如计算速度、存储量和与阵流形的无关性等方面。可以看到，独立信号源情况，对于低信噪比和快拍数较少的情况，ESPRIT得到正确估计的概率要高于同样情况下的MUSIC算法。在众多算法的比较中，ESPRIT是被推荐应用于实际应用的一种。当然，我们对ESPRIT的天线阵加了一些限制，这就是要求天线阵元以匹配对的形式存在。这个要求使得ESPRIT的应用受到一定限制。思考由于ESPRIT比MUSIC的分辨率更高，期待ESPRIT在有尖锐特性的海流剖面上有更好的性能？此时涉及同一流速在不同方位的分辨，如何进行信号源数目估计？20406080100120140160-0.2-0.100.10.20.30.40.5DOACurrentSNR=25dBSNRThreshold=10dB天线阵列形式测量、存储阵列方向矢量计算量角度分辨性能MUSIC任意需要较大较好ESPRIT平移不变子阵不需要较小好小结：信号子空间的旋转不变性TΨyxEΨETAΦATEEEyxsΦT1假设已知d个信号源，与阵列协方差矩阵d个最大特征值对应的特征矢量构成信号子空间和都是含有噪声的估计值xEˆyEˆ采用整体最小二乘准则（TLS）估计ΨIV.UnitaryESPRIT优势：1)计算代价进一步减小；2)实现对相干信号的检测；3)有望得到更好的估计性能。数值模拟(独立目标)阵列：8阵元的均匀线阵阵元间隔：17m信噪比：15dB中心频率：7.5MHz噪声：加性零均值复高斯白噪快拍：17试验次数：5000ESPRIT和UnitaryESPRIT算法中选择最大重叠子阵进行计算；MUSICESPRITUnitaryESPRIT均值86.1793.8285.9994.0085.99