二次根式讲解大全

新起点二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。4.二次根式的性质：（1）（a）2=a（a≥0）；（2）5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．ab=a·b（a≥0，b≥0）；bbaa（b≥0，a0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153xaaa，其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx315；（2）22)-(x例3、在根式1)222;2);3);4)275xabxxyabc，最简二次根式是（）A．1)2)B．3)4)C．1)3)D．1)4)例4、已知：的值。求代数式22,211881xyyxxyyxxxya（a＞0）aa2a（a＜0）0（a=0）；新起点二次根式例5、（2009龙岩）已知数a，b，若2()ab=b－a，则()A.abB.abC.a≥bD.a≤b2、二次根式的化简与计算例1.将根号外的a移到根号内，得()A.；B.－；C.－；D.例2.把（a－b）－1a－b化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()babbaab，其中a=512，b=512．例5、如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：222()abab3、在实数范围内分解因式例.在实数范围内分解因式。（1）；（2）4、比较数值（1）、根式变形法当0,0ab时，①如果ab，则ab；②如果ab，则ab。例1、比较35与53的大小。（2）、平方法当0,0ab时，①如果22ab，则ab；②如果22ab，则ab。例2、比较32与23的大小。（3）、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。例3、比较231与121的大小。（4）、分子有理化法新起点二次根式通过分子有理化，利用分母的大小来比较。例4、比较1514与1413的大小。（5）、倒数法例5、比较76与65的大小。（6）、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。例6、比较73与873的大小。（7）、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①0abab；②0abab例7、比较2131与23的大小。（8）、求商比较法它运用如下性质：当a0，b0时，则：①1aabb；②1aabb例8、比较53与23的大小。5、规律性问题例1.观察下列各式及其验证过程：，验证：；验证:.（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4415的变形结果，并进行验证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程.例2.已知，则a_________发展：已知，则a______。例3、化简下列各式：新起点二次根式（1）423（2）526例4、已知ab0，a+b=6ab，则abab的值为（）A．22B．2C．2D．12例5、甲、乙两个同学化简时，分别作了如下变形：甲：==；乙：=。其中，（）。A.甲、乙都正确B.甲、乙都不正确C.只有甲正确D.只有乙正确新起点二次根式【基础训练】1．化简：（1）72____；（2）222524_____；（3）61218____；（4）3275(0,0)xyxy____；（5）_______420。2.(08，安徽)化简24=_________。3.（08，武汉）计算4的结果是Ａ.2Ｂ．±2Ｃ．-2Ｄ．44.化简：（1）（08，泰安）9的结果是；（2）123的结果是；（3）(08，宁夏)825=；（4）（08，黄冈）5x-2x=______；（5）（08，宜昌）3＋（5－3）=_________；（6）；（7）(08，荆门)＝________；（8）．5．（08，重庆）计算28的结果是A、6B、6C、2D、26．（08，广州）3的倒数是。7.(08，聊城)下列计算正确的是A．B．C．D．8.下列运算正确的是A、4.06.1B、5.15.12C、39D、32949．（08，中山）已知等边三角形ABC的边长为33，则ΔABC的周长是____________；10.比较大小：３10。11．（08，嘉兴）使2x有意义的x的取值范围是．12.(08，常州)若式子5x在实数范围内有意义,则x的取值范围是A.x-5B.x-5C.x≠-5D.x≥-513.(08，黑龙江)函数中，自变量的取值范围是．14.下列二次根式中，x的取值范围是x≥2的是新起点二次根式A、2－xB、x+2C、x－2D、1x－215.（08，荆州）下列根式中属最简二次根式的是A.21aB.12C.8D.2716．（08，中山）下列根式中不是最简二次根式的是A．10B．8C．6D．217．（08，常德）下列各式中与是同类二次根式的是A．2B．C．D．18．下列各组二次根式中是同类二次根式的是A．2112与B．2718与C．313与D．5445与19.(08，乐山)已知二次根式与是同类二次根式，则的α值可以是A、5B、6C、7D、820．（08，大连）若baybax,，则xy的值为A．a2B．b2C．baD．ba21.（08，遵义）若230ab，则2ab．22．（08，遵义）如图，在数轴上表示实数15的点可能是A．点PB．点QC．点MD．点N23.计算：（1）（2）（3）（08，上海）．（4）（08，庆阳）．（5）2712414824.先将22xx÷322xxx化简，然后自选一个合适的x值，代入化简后的式子求值。新起点二次根式25.(08，济宁)若，则的取值范围是A．B．C．D．26.(08，济宁)如图，数轴上两点表示的数分别为1和，点关于点的对称点为点，则点所表示的数是A．B．C．D．过关测试一、选择题：1.若在实数范围内有意义，则m的取值范围是（）。A.m≥2B.m2C.m≤2D.m22.若=3，则x的取值范围是（）。A.x=0B.－1≤x≤2C.x≥2D.x≤－13.二次根式、、的大小关系是（）。A.B.C.D.4.下列式子中，正确的是（）。A.（－3）（+3）=2B.5÷×=5C.2×（=2－1D.（2－）（2+）2=－2－5.使等式成立的实数a的取值范围是（）。A.a≠3B.a≥，且a≠3C.a3D.a≥6.下列各组二次根式（a0）中，属于同类二次根式的是（）。A.C.7.当0x2时，化简2的结果是（）。A.新起点二次根式8．下列运算正确的是（）A．3273B．0(π3.14)1C．1122D．939．估计1832的运算结果应在（）A．1到2之间B．2到3之间C．3到4之间D．4到5之间二、填空题：1.已知a、b在数轴上的位置如图所示，－│b－a│的化简结果是______。2若x≠0，y≠0，则成立的条件是__________。3.已知m是小于10的正整数，且可化为同类二次根式，m可取的值有_______。4.如果xy=，x－y=5－1，那么（x+1）（x－1）的值为________。5.已知x=12，x=________。6.若a－2，的化简结果是________。三、解答题1.已知x=2+1，求（22121xxxxxx）÷1x的值．2．对于题目“化简求值：1a+2212aa，其中a=15”，甲、乙两个学生的解答不同．甲的解答是：1a+2212aa=1a+21()aa=1a+1a－a=2495aa乙的解答是：1a+2212aa=1a+21()aa=1a+a－1a=a=15谁的解答是错误的？为什么？3.已知a、b、c均为实数，且=c。化简。