职业高中1.1.2余弦定理教案

1.2.1余弦定理教学过程设计2、勾股定理：在ΔABC中，当∠A=90°时,.AC222abcACCcBAba1、向量相关知识：（1）向量加法的三角形法则：（2）向量减法的三角形法则：（3）向量的模：一，复习引入CABBCABBABCa2a3、向量的数量积：a•b==|a|•|b|•cosα二、引入新课师：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2．若a，b边的长短不变，变换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么关系呢？请同学们思考．我们可以看出∠C为锐角时，△ABC的三边a，b，c具有c2=a2+b2－2abcosC的关系．给出余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即：在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,有余弦定理：从以上分析过程，我们对∠C是锐角的情况有了清楚认识．我们不仅要认识到，∠C为锐角时有c2=a2+b2－2abcosC，还要体会出怎样把一个斜三角形转化成两个直角三角形的．这种未知向已知的转化在数学中经常碰到．三、证明余弦定理师：在引入过程中，我们不仅找到了斜三角形的边角关系，而且还给出了证明，这个证明是依据分类讨论的方法，把斜三角形化归为两个直角三角形的和或差，再利用勾股定理和锐角三角函数证明的．这是证明余弦定理的一个好方法，但比较麻烦．现在我们已学完了三角函数，无论∠α是锐角、直角或钝角，我们都有统一的定义，借用三角函数和两定点间的距离来证明余弦定理，我们就可避开分类讨论．我们仍就以∠C为主进行证明．证明：设AB=c,BC=a,AC=b得a=b-c|a|²=a•a=(b-c)•(b-c)=b•b-2bc+c•c=|b|²-2|b|•|c|cosA+|c|²=b²+c²-2b•c•cosA同理可证②③ABbcCa师：余弦定理的另一种证法，启发学生回答很，A，B两点间的距离如何求？生：|AB|2=(acosC－b)2+(asinC－0)2=a2cos2C－2abcosC+b2+a2sin2C=a2+b2－2abcosC，即c2=a2+b2－2abcosC．师：大家请看，我们这里也导出了余弦定理，这个证明方法是解析法．这种方法以后还要详细学习．余弦定理用语言可以这样叙述，三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍．即：a2=b2+c2－2bccosA．c2=a2+b2－2abcosC．b2=a2+c2－2accosB．若用三边表示角，余弦定理可以写为四、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的关系在△ABC中，c2=a2+b2－2abcosC．若∠C=90°，则cosC=0，于是c2=a2+b2－2ab·0=a2+b2．说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．这与Rt△ABC中，∠C=90°的锐角三角函数一致，即直角三角形中的锐角三角函数是余弦定理的特例．五、余弦定理的作用(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角；(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．六、应用举例例题1在△ABC中，已知a=6,b=3,∠C=120°,求△ABC的其他元素。解：∵c²=a²+b²-2a•b•cosA=6²+3²-2×6×3×cos120°=63查表或计算器得∠A=40°54'查表或计算器得∠B=19°06'63c7559.06366332366392cos222bcacbA由9449.06362936632cos222cabacB由例题2在△ABC中，已知a=5,b=7,c=4,求△ABC的三个内角。解：7143.04722516492cos222bcacbA由余弦定理2.04524916252cos222cabacB由查表或计算器可得∠A=44°25‘∠B=101°32‘∠C=180°-∠A-∠B=34°3‘以上两个例子简单说明了余弦定理的作用．例题3在△ABC中，已知∠B=60°,求证：b²-c²=a（a-c)所以b²-c²=a（a-c)解：由余弦定理，得b²=a²+c²-2a•c•cosB=a²+c²-2a•c•cos60°=a²+c²-a•c这几种解法都是用到余弦定理，可见掌握余弦定理是十分必要的．七、课堂小结本节课我们研究了三角形的一种边角关系，即余弦定理，它的证明我们可以用解析法．它的形式有两种，一种是用两边及夹角的余弦表示第三边，另一种是三边表示角．余弦定理适用于各种三角形，当一个三角形的一个内角为90°时，余弦定理就自然化为勾股定理或锐角三角函数．余弦定理的作用如同它的两种形式，一是已知两边及夹角解决第三边问题；另一个是已知三边解决三内角问题．注意在(0，π)范围内余弦值和角的一一对应性．若cosA＞0，则A为锐角；若cosA=0，则A为直角；若cosA＜0，则A为钝角．另外本节课我们所涉及的内容有两处用到分类讨论的思想方法．请大家解决问题时要考虑全面．如果能回避分类讨论的，应尽可能回避，如用解析法证明余弦定理、用余弦定理证明例1等等．八、课本第14页A组1,2,B组1。九、作业课后练习：课本第14页B组2,3.课后作业：课本第17页1.预习正弦定理