【最新-红对勾】2013-2014学年人教A版·数学·必修5：等差数列(61张PPT)

第二章数列系列丛书进入导航第二章数列第二章数列系列丛书进入导航2.2等差数列人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航第1课时等差数列课时作业课前自主预习课堂互动探究随堂知能训练人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航1.理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并运用.目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航课主自前预习课前预习·········································明确目标人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航1．等差数列的概念及通项公式(1)等差数列的概念新知初探人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航自然语言数学语言如果一个数列从第___项起，每一项与它的________的差都等于______________，那么这个数列就叫做等差数列，这个_____叫做等差数列的______，通常用字母___表示.______________________________2前一项同一个常数常数公差dan＋1－an＝d或an－an－1＝d(n≥2)人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航注意：注意定义中的关键词“从第2项起”、“每一项与它前一项的差”、“同一个常数”不可错用．(2)通项公式设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则其通项an＝_______________.2．等差中项在由三个数a，A，b组成的等差数列中，A叫做a与b的_________．这三个数满足关系式____________.a1＋(n－1)d等差中项2A＝a＋b人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航1．等差数列的定义中为什么要强调“从第2项起”和“差是同一个常数”这两点？思考感悟人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航提示：(1)从第2项起，包括了数列中任意相邻两项，而无遗漏．(2)“差是常数”和“差是同一个常数”的意义不一样，如数列1,5,3,7中，a2－a1＝5－1＝4，是常数；a3－a2＝3－5＝－2，是常数；a4－a3＝7－3＝4，是常数．差都是常数，但是很明显该数列不是等差数列，所以强调“差是同一个常数”，这是等差数列定义的核心．人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航2．在等差数列中，项的大小变化规律与公差有何关系？提示：当d0时，数列中的项随项数的增大而增大．当d＝0时，数列中的各项都相同．当d0时，数列中的项随项数的增大而减小．人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航3．怎样认识等差数列通项公式？提示：(1)确定a1和d是确定通项的一般方法．(2)由方程思想，根据an，a1，n，d中任何三个量可求解另一个量，即知三求一．(3)通项公式可变形为an＝dn＋(a1－d)，可把an看作自变量为n的一次函数.人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航课动互堂探究例练结合·········································素能提升人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航类型一等差数列的判定与证明[例1]已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－4an－1(n1)，记bn＝1an－2.(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．典例导悟人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航[分析](1)要证{bn}是等差数列，只需证bn＋1－bn＝常数或bn－bn－1＝常数(n≥2且n∈N*)．(2)先求bn，再求an.人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航[解](1)证明：∵bn＋1－bn＝1an＋1－2－1an－2＝14－4an－2－1an－2＝an2an－2－1an－2＝an－22an－2＝12.又b1＝1a1－2＝12，∴数列{bn}是首项为12，公差为12的等差数列．人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航(2)由(1)知bn＝12＋(n－1)×12＝12n.∵bn＝1an－2，∴an＝1bn＋2＝2n＋2.人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航[点评](1)熟练掌握等差数列判定的三种方法：定义法、等差中项法和通项公式法．(2)三个数a，b，c成等差数列⇔2b＝a＋c.人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航变式训练1已知数列{an}，满足a1＝2，an＋1＝2anan＋2，数列{1an}是否为等差数列？说明理由．人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航解：数列{1an}是等差数列，理由如下：∵a1＝2，an＋1＝2anan＋2，∴1an＋1＝an＋22an＝12＋1an.∴1an＋1－1an＝12.即{1an}是首项为1a1＝12，公差为d＝12的等差数列．人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航类型二等差数列基本量的运算[例2]在等差数列{an}中，(1)已知a1＝6，d＝3，求a8；(2)已知a4＝10，a10＝4，求a7和d；(3)已知a2＝12，an＝－20，d＝－2，求n；(4)已知a7＝12，d＝－2，求a1.[分析]利用等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d及其变形公式求解．人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航[解](1)∵a1＝6，d＝3，∴an＝6＋3(n－1)＝3n＋3.∴a8＝3×8＋3＝27.(2)∵a4＝10，a10＝4，∴d＝a10－a410－4＝－66＝－1，∴an＝a4＋(n－4)×(－1)＝－n＋14.∴a7＝－7＋14＝7.人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航(3)∵a2＝12，d＝－2，∴a1＝a2－d＝12－(－2)＝14.∴an＝14－2(n－1)＝16－2n＝－20，∴n＝18.(4)∵a7＝a1＋6d＝a1－12＝12，∴a1＝252.人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航[点评]在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航变式训练2在等差数列{an}中，(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1和d；(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9；(3)已知a1＝1，d＝3，an＝2005，求n.人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航解：(1)由题意知：a1＋5－1d＝－1，a1＋8－1d＝2，解得a1＝－5，d＝1.人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航(2)由题意知：a1＋a6＝2a1＋5d＝12，a4＝a1＋3d＝7，解得a1＝1，d＝2.∴a9＝a1＋(9－1)d＝1＋8×2＝17.(3)∵an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×3＝2005，∴n＝669.人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航类型三等差中项的应用[例3]在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．[分析]由题意知此等差数列的首项a1＝－1，又已知a5＝7，可使用通项公式求得公差d，再利用通项公式分别求得a，b，c；也可利用等差中项先求得b，再依次使用等差中项求得a，c.人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航[解]方法一：设a1＝－1，a5＝7.∴7＝－1＋(5－1)d⇒d＝2.∴所求的数列为－1,1,3,5,7.方法二：∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项．∴b＝－1＋72＝3.人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航又a是－1与3的等差中项，∴a＝－1＋32＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航[点评]在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，即an＝an＋1＋an－12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航变式训练3(1)若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是________．(2)已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为________，________，________.人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航解析：(1)由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6，所以m与n的等差中项为m＋n2＝62＝3.人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航(2)因为8，a,2，b，c是等差数列，所以8＋2＝2a，a＋b＝2×2，2＋c＝2b.∴a＝5，b＝－1，c＝－4.答案：(1)3(2)5－1－4人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航类型四人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航[例4]已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．[分析]充分利用等差中项的定义求解未知量．人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航[解]方法一：设这三个数为a，b，c，则由题意，得2b＝a＋c，a＋b＋c＝18，a2＋b2＋c2＝116，解得a＝4，b＝6，c＝8.∴这三个数是4,6,8.人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航方法二：设这三个数为a－d，a，a＋d，由已知，得a－d＋a＋a＋d＝18，①a－d2＋a2＋a＋d2＝116，②由①，得a＝6.代入②，得d＝±2，∵该数列是递增的，∴d＝－2舍去．∴这三个数为4,6,8.人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航[点评]当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，可设出首项a1和公差d列方程组求解，也可采用对称的设法，三个数时，设a－d，a，a＋d；四个数时，设a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.利用和为定值先求出其中某个未知量，再进一步解题．人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航变式训练4已知四个数成等差数列，且它们的和为26，第二个数与第三个数的积为40，求这四个数．人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航解：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，∴a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，a－da＋d＝40.解得a＝132，d＝±32.∴所求四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航易错点：对等差数列的定义理解不透彻要说明一个数列为等差数列，必须说明从第二项起所有的项与其前一项之差为同一常数，即an－an－1＝d(n≥2)恒成立，而不能只验证有限个相邻两项之差相等．自我纠错人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列丛书进入导航[错题展示]若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg2n，试说明数列{an}为等差数列．[错解]因为an＝10＋lg2n＝10＋nlg2，所以a1＝10＋lg2，a2＝10＋2lg2，a3＝10＋3lg2，…，所以a2－a1＝lg2，a3－a2＝lg2，…，故数列{an}为等差数列．人教A版·数学·必修5第二章2.2第1课时系列