循环卷积与线性卷积的实现

实验五循环卷积与线性卷积的实现一、实验目的（1）进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念；（2）理解掌握二者的关系。二、实验原理两个序列的N点的循环卷积定义为10[()()]()(())NNNkhnxnhmxnm(0)nN从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N点序列的N点循环卷积结果仍为N点序列，而它们的线性卷积的结果长度则为2N-1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性移位。正是这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。两个序列的N点循环卷积是它们的线性卷积以N为周期的周期延拓。设序列()hn的长度为1N，序列()xn的长度为2N，此时线性卷积结果的序列点数为'121NNN；因此如果循环卷积的点数N小于121NN，那么上述周期性延拓的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。而如果满足'NN的条件，就有循环卷积与线性卷积的结果在0nN范围内相同。根据DFT循环卷积性质中的卷积定理{[()()]}[()][()]NDFThnxnDFTxnDFThn因此可以根据性质先分别求两个序列的N点DFT，并相乘，然后取IDFT以得到循环卷积。三、实验分析例题：已知有限长序列()xn与()hn如下图所示，（1）画出两者之间的线性卷积（2）8点圆卷积。（3）5点圆卷积。解析如下：（1）()xn与()hn的线性卷积，由公式可知：()*()()()mhnxnxmhnm()xm与()hm的图形如下：利用方格平移法：1111132100由方格平移法可知：当0n时，()*()0hnxn当1n时，()*()0hnxn当2n时，()*()0*11*11hnxn当3n时，()*()2*11*10*13hnxn当4n时，()*()3*12*11*10*16hnxn当5n时，()*()3*12*11*10*16hnxn当6n时，()*()3*12*11*16hnxn当7n时，()*()3*12*15hnxn当8n时，()*()3*13hnxn得到图形如下：（2）()xn与()hn的8点圆卷积，由公式可知：78880()()(())(())()nxnhnxmhnmGn8(())xm与8(())hm的图形如下：根据下面图表可计算得到圆卷积：当0n时：111110000000321000003000取和得到圆卷积为3。当1n时：111110000000032100000000取和得到圆卷积为0。当2n时：111110001000003200000000取和得到圆卷积为1。当3n时：111110002100000321000000取和得到圆卷积为3。当4n时：111110003210000032100000取和得到圆卷积为6。当5n时：111110000321000003210000取和得到圆卷积为6。当6n时：111110000032100000321000取和得到圆卷积为6。当7n时：111110000003210000032000取和得到圆卷积为5。得到波形如下：（2）()xn与()hn的5点圆卷积，由公式可知：44440()()(())(())()nxnhnxmhnmGn4(())xm与4(())hm的图形如下：根据图标可计算得到圆卷积：当0n时：111110321003210取和得到圆卷积为6。当1n时：111110032100321取和得到圆卷积为6。当2n时：111111003210032取和得到圆卷积为6。当3n时：111112100321003取和得到圆卷积为6。当4n时：111113210032100取和得到圆卷积为6。画出波形如下：四、仿真实验Matlab程序设计如下：编写的循环卷积程序：方法一：直接根据定义计算，程序编辑如下：functiony=circonv1(x1,x2,N)iflength(x1)Nerror('Nmustnotbelessthanlengthofx1')endiflength(x2)Nerror('Nmustnotbelessthanlengthofx2')endx1=[x1,zeros(1,N-length(x1))];x2=[x2,zeros(1,N-length(x2))];n=[0:1:N-1];x2=x2(mod(-n,N)+1);H=zeros(N,N);forn=1:1:NH(n,:)=cd(x2,n-1,N);endy=x1*H';functiony=cd(x,m,N)iflength(x)Nerrorendx=[xzeros(1,N-length(x))];n=[0:1:N-1];n=mod(n-m,N);y=x(n+1);方法二：根据性质先分别求两个序列的N点DFT，并相乘，然后取IDFT以得到循环卷积functiony=circonv2(x1,x2,N)iflength(x1)Nerror('Nmustnotbelessthanlengthofx1')endiflength(x2)Nerror('Nmustnotbelessthanlengthofx2')endX1k=fft(x1,N);X2k=fft(x2,N);Yk=X1k.*X2k;y=ifft(Yk);if((all(imag(x1)==0))&&(all(imag(x2)==0)))y=real(y);end编写的主程序：n=[0:1:4];m=[0:1:4];N1=length(n);N2=length(m);xn=ones(1,5);hn=[0,0,1,2,3];y1n=conv(xn,hn);y2n=circonv2(xn,hn,N1+N2-1);y3n=circonv1(xn,hn,N1);ny1=[0:1:length(y1n)-1];ny2=[0:1:length(y3n)-1];subplot(3,1,1);stem(ny1,y1n);subplot(3,1,2);stem(ny1,y2n);subplot(3,1,3);stem(ny2,y3n);运行结果如下：图表1实验结果与理论结果一致。五、实验小结通过本次实验理解并掌握了循环卷积与线性卷积的概念，也掌握了两者之间的关系。学会了matlab中线性卷积函数，以及如何编写循环卷积。在仿真过程中出现了一些问题，由于matlab提供线性卷积函数，则只需要自己编写循环卷积，在编写过程中，没有注意到matlab中的大小写的严格区别，导致程序运行错误。经过反复检查之后发现了错误，经改正后得到了正确的运行结果。收获很大。