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正弦定理和余弦定理习题课练习题姓名学号——一、选择题(共8小题,每小题5.0分,共40分)1.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且2c2=2a2+2b2+ab,则△ABC是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形2.在△ABC中,若有=cos2,则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.直角三角形或锐角三角形3.在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC等于()A.B.C.D.4.△ABC的两边长分别为2,3,其夹角的余弦值为,则其外接圆的直径为()A.B.C.D.95.若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,则△ABC()A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形6.在△ABC中,关于x的方程(1+x2)sinA+2xsinB+(1-x2)sinC=0有两个不等的实根,则A为()A.锐角B.直角C.钝角D.不存在7.在△ABC中,sinA=,则△ABC为()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形8.在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,则△ABC的形状一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)9.在△ABC中,a2-b2=bc,sinC=2sinB,则A=.10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asinA+csinC-asinC=bsinB.则角B=.11.在△ABC中,sin2=,则△ABC的形状为12.在等腰三角形ABC中,已知sinA∶sinB=1∶2,底边BC=10,则△ABC的周长是.三、解答题13.在任意△ABC中,求证:a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0.(13分)14.在△ABC中,求证:=.(13分)15.在△ABC中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)·sin(A+B),试判断△ABC的形状.(14分)正弦定理和余弦定理习题课练习题姓名学号——一、选择题(共8小题,每小题5.0分,共40分)1.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且2c2=2a2+2b2+ab,则△ABC是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形【答案】A【解析】由2c2=2a2+2b2+ab得a2+b2-c2=-ab,所以cosC===-0,由于C是三角形一内角,所以90°C180°,即三角形为钝角三角形,选A.2.在△ABC中,若有=cos2,则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.直角三角形或锐角三角形【答案】B【解析】由=cos2,得==+,所以=1+,所以2a2+2ab=2ab+a2+b2-c2,所以a2+c2=b2,所以△ABC是直角三角形.3.在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC等于()A.B.C.D.【答案】C【解析】在△ABC中,由余弦定理得AC2=BA2+BC2-2BA·BCcos∠ABC=()2+32-2××3cos=5.∴AC=,由正弦定理=得sin∠BAC====.4.△ABC的两边长分别为2,3,其夹角的余弦值为,则其外接圆的直径为()A.B.C.D.9【答案】B【解析】设另一条边为x,则x2=22+32-2×2×3×,∴x2=9,∴x=3.设两边的夹角为θ,cosθ=,则sinθ=.∴2R===.5.若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,则△ABC()A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形【答案】C【解析】由正弦定理===2R(R为△ABC外接圆半径)及已知条件sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,可设a=5x,b=11x,c=13x(x0),则cosC=0,∴C为钝角,∴△ABC为钝角三角形.6.在△ABC中,关于x的方程(1+x2)sinA+2xsinB+(1-x2)sinC=0有两个不等的实根,则A为()A.锐角B.直角C.钝角D.不存在【答案】A【解析】由方程可得(sinA-sinC)x2+2xsinB+sinA+sinC=0.∵方程有两个不等的实根,∴4sin2B-4(sin2A-sin2C)>0.由正弦定理==,代入不等式中得b2-a2+c2>0,再由余弦定理,有2bccosA=b2+c2-a2>0.∴0°A90°.7.在△ABC中,sinA=,则△ABC为()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】C【解析】由已知得cosB+cosC=,由正弦、余弦定理得+=,即a2(b+c)-(b+c)(b2-bc+c2)=bc(b+c),即a2=b2+c2,故△ABC是直角三角形.8.在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,则△ABC的形状一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【答案】B【解析】由正弦定理及已知条件,得sin2Bsin2C=sinBsinC·cosBcosC.∵sinBsinC≠0,∴sinBsinC=cosBcosC,即cos(B+C)=0,即cosA=0,∵0°A180°,∴A=90°,故△ABC是直角三角形.分卷II二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)9.在△ABC中,a2-b2=bc,sinC=2sinB,则A=.【答案】30°【解析】由sinC=2sinB及正弦定理,得c=2b,把它代入a2-b2=bc,得a2-b2=6b2,即a2=7b2.由余弦定理,得cosA====,又∵0°A180°,∴A=30°.10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,asinA+csinC-asinC=bsinB.则角B=.【答案】45°【解析】由正弦定理,得a2+c2-ac=b2,由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB,故cosB=.又因为B为三角形的内角,所以B=45°.11.在△ABC中,sin2=,则△ABC的形状为()A.正三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形【答案】B【解析】∵sin2==,∴cosA==,∴a2+b2=c2,符合勾股定理.∴△ABC为直角三角形.12.在等腰三角形ABC中,已知sinA∶sinB=1∶2,底边BC=10,则△ABC的周长是.【答案】50【解析】由正弦定理,得BC∶AC=sinA∶sinB=1∶2,又∵底边BC=10,∴AC=20,∴AB=AC=20,∴△ABC的周长是10+20+20=50.三、解答题(共3小题,每小题13.0分,共39分)13.在任意△ABC中,求证:a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0.【答案】证明由正弦定理,令a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC(k0),代入得,左边=k(sinAsinB-sinAsinC+sinBsinC-sinBsinA+sinCsinA-sinCsinB)=0=右边,∴等式成立.【解析】14.在△ABC中,求证:=.(13分)【答案】证明因为右边==×cosB-×cosA=×-×=-==左边.所以=.【解析】15.在△ABC中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)·sin(A+B),试判断△ABC的形状.(13分)【答案】解∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),∴b2[sin(A+B)+sin(A-B)]=a2[sin(A+B)-sin(A-B)],∴2b2sinAcosB=2a2cosAsinB,即a2cosAsinB=b2sinAcosB.方法一由正弦定理知a=2RsinA,b=2RsinB,∴sin2AcosAsinB=sin2BsinAcosB,又sinAsinB≠0,∴sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B.在△ABC中,02A2π,02B2π,∴2A=2B或2A=π-2B,∴A=B或A+B=.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.方法二由正弦定理、余弦定理,得a2b×=b2a×,∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴a2-b2=0或a2+b2-c2=0.即a=b或a2+b2=c2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.【解析】
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