函数曲线的凹凸性与拐点

§2.4.3曲线的凹凸性与拐点第四节导数的应用观察下列两图的特点：xyo)(xfyABxyo)(xfyAB一、曲线的凹凸性与拐点１.曲线凹凸性的定义xyo)(xfyabABxyo)(xfyabBA定义2.6若在某区间(a,b)内曲线段总位于其上任意一点处切线的上方，则称该曲线段在(a,b)内是凹的,(a,b)为曲线的凹区间；若曲线段总位于其上任一点处切线的下方，则称该曲线段在(a,b)内是凸的,(a,b)为曲线的凸区间.在我们不知道曲线形状的时候,用曲线凹凸性的定义判断曲线的凹凸性显然是不可能的,如何方便地判断曲线的凹凸性呢?2.曲线凹凸性的判定xyo)(xfyabAB上图可见：切线斜率k↗单增)(xf0)(xf凹曲线xyo)(xfyabBA上图可见：凸曲线切线斜率k↘单减)(xf0)(xf定理2.12设函数y=f(x)在区间(a,b)内的二阶导数存在(1)若在(a,b)内f(x)0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)内是凹的；(2)若在(a,b)内f(x)0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)内是凸的。例1.3的凹凸性判断曲线xy解,32xy,6xy时，当0x,0y为凸的；在曲线]0,(时，当0x,0y为凹的；在曲线),0[.)0,0(点是曲线由凸变凹的分界点注意到：注意：拐点一定在曲线上。怎样判断曲线的拐点呢？定义2.7连续曲线y=f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点.)0,0(3的拐点是曲线xy函数凹凸性凹凸区间凹凸区间分界点（拐点）拐点凹凸性分界点不存在的点的点或)(0)(xfxf切线斜率k↗单增)(xf0)(xf凸曲线切线斜率k↘凹曲线单减)(xf0)(xf前已述及:所以:单调性分界点)(xf凸曲线凹曲线单增)(xf单减)(xf但反向不一定成立4()fxx例如43()fxx例如据以上分析总结出曲线凹凸区间与拐点的判定步骤:(1)求函数y=f(x)的定义域;(2)求出f“(x)，找出定义域内使f”(x)=0的点和f“(x)不存在的点；(3)用上述各点按照从小到大的顺序依次将定义域分成若干个小区间，考察每个小区间上f“(x)的符号；从而判断曲线在各个子区间上的凹凸性,最后确定拐点.的拐点的点不一定是不存在的点或但不存在的点的点或的拐点一定是曲线总之)()(0)()(0)()(xfyxfxf，xfxfxfy，例2求曲线524)(34xxxxf的凹凸区间及拐点．),((2)2124)(23xxxf)2(122412)(2xxxxxf2,0,0)(21xxxf得令(3)列表考察函数的凹凸区间及拐点:解(1)函数的定义域为凹拐点（2，–17）凸拐点(０，–５)凹f(x)＋0－0＋f(x)(2,+∞)2(0,2)0(-∞,0)x例3的值和求的拐点为已知点ba，bxaxy23)3,1(29,23ba解因为拐点一定在曲线上，所以3(1)abbxaxy232baxy26从而有ba260即30(2)ab(1)式和(2)式联立解得:3、小结曲线凹凸性的判定方法：几何法、代数法弦在弧上方切线在曲线下方凹弦在弧下方切线在曲线上方凸凹凸曲线拐点的求法