函数列一致收敛判别法[1]

哈尔滨师范大学学士学位论文开题报告论文题目函数列一致收敛性判别法学生姓名许月指导教师房维维讲师年级2008级2班专业数学与应用数学2011年11月课题来源：由指导教师提供课题研究的目的和意义：由于本课题在数学领域中对初学者来说比较难理解，难以掌握与应用，所以研究此课题目的是让初学者掌握该课题知识，学会分析，提高自己的综合能力，本文给出5种函数一致收敛性判别法的例题，让初学者更加形象的理解本课题的应用技巧。函数列一致收敛性判别法在数学分析中是重点难点，有效的判别函数列的收敛性对研究函数列的性质起着重要作用。所以本文介绍了判别收敛性的方法及案例，让初学者能深刻体会其重要性和应用的广泛性。国内外同类课题研究现状及发展趋势：函数列一致收敛性判别法在求解极限领域中起着极其重要的作用，它不仅有助于提高我们对极限认识清晰度，而且更能帮助我们领悟一致收敛这一性质。但在国内对于写相关课题已被广泛研究，1991年海南师范学院学报第二期张国才和方良秋的《函数列一致收敛性判别法》，这篇文章参考数学分析中函数列的性质得出了函数列一致收敛性的基本方法，包括柯西判别法。1995年吉林师范学院学报第16卷上关伟大的《关于一致收敛的判别问题》，这篇文章讨论了处处收敛与一致收敛的关系，得出了“单调的一致收敛函数列是一致收敛的”结论。1994年上海师范大学学报第23卷第3期张骏芳的《广义一致收敛与亚一致收敛》,这篇文章讨论了连续函数列的极限函数连续条件，采用了先把函数列为正则收敛减弱为弱正则收敛或一致收敛，在减弱为广义一致收敛，最后成为一个定理证明。还有很多学者研究了一致收敛判别的各个方面，不仅未来的研究指明了方向，而且在学术界得到广泛应用，同时也为本文提供了理论依据和参考。课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法：主要内容：1、函数列一致收敛性的判别法2、函数列一致收敛性的定义3、函数列一致收敛性的柯西准则4、函数列一致收敛的充要条件5、函数列一致收敛性判别法的应用6、函数列一致收敛性判别法的意义主要方法：查询法：通过文献调研有目的有计划有系统地收集并整理资料，了解图论在数学模型中的应用。文献研究法：调研文献，整理文章，获取所需材料。归纳法：总结并整理论文。主要问题：对于不同的题型，怎么选择正确方法解答。解决办法：归纳总结，查询文献，请老师指导等。课题研究起止时间和进度安排：1.选定课题（2011.10—2011.11）2.收集资料，研究有关课题（2011.11—2012.2）3.完成初稿（2012.2—2012.3）4.请指导教师指导完成论文(2012.3—2012.4)学士学位论文题目函数列一致收敛性判别法学生许月指导教师房维维讲师年级2008级专业数学与应用数学系别数学系学院文理学院哈尔滨师范大学2012年4月目录摘要..................................................................................................................................................1关键词..............................................................................................................................................1引言..................................................................................................................................................1一预备知识...................................................................................................错误!未定义书签。1.1函数列一致收敛性定义.........................................................................................................11.2函数列一致收敛性柯西准则................................................................................................11.3函数列一致收敛性充要条件..................................................................................................2二函数列一致收敛性判别法的应用.............................................................................................22.1利用函数列一致收敛性定义证明.....................................................................................22.2利用函数列一致收敛性柯西准则.....................................................................................32.3利用函数列一致收敛性充要条件....................................................................................53.结束语..........................................................................................................................................6注释..................................................................................................................................................6参考文献...........................................................................................................................................7英文摘要...........................................................................................................................................811函数列一致收敛性判别法许月摘要:在高等数学中一致收敛是函数列的一个重要性质，有效的判别函数列一致收敛性的方法，对研究函数列的性质起着重要的作用。其方法有定义法，柯西准则，充要条件等重要方法，通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维能力，并对各种方法加以系统总结，以便学者熟练并灵活运用.关键词：函数列；一致收敛；判别法引言本文系统总结了有关函数列一致收敛性的若干证明方法与技巧，通过对例题的分析，回顾了几种常用的函数列一致收敛性判定方法，充分的分析各种判定方法的应用，并结合实例对不同方法进行具体应用，叙述了证明函数列一致收敛性判别方法，即函数列一致收敛性的定义，函数列一致收敛性的柯西准则，函数列一致收敛性的充要条件等方法证明函数列一致收敛性.这样对我们解题将会起到很大的作用.一预备知识1.1函数列一致收敛的定义定义1：设函数列｛nf｝与函数fx定义在同一数集D上，若对任给的正数，总存在一正整数N，使得当nN时，对一切xD，都有nfxfx，则称函数列｛nf｝在D上一致收敛于f，记作nfxfxn，xD.1.2函数列一致收敛性的柯西准则定理1（Cauchy）函数列nf在D上一致收敛的充分必要条件上：对任意给定正数，总存在正数N，使得当,nmN时，对一切xD，都有nmfxfx.21.3函数列一致收敛性的充要条件定理2函数列｛nf｝在D上一致收敛的充要条件是：limsup0nnxDfxfx.二函数列一致收敛性判别法的应用2.1利用函数列一致收敛性定义证明例1：定义在,上的函数列sin,1,2...nnxfxnn由于对任何实数x，都有nnnx1sin故对任给的0，只要1nN，就有sin0,nxn所以函数列sinnxn收敛域为无限区间,,极限函数0fx.注：对于函数列，仅停留在谈论在那些点上收敛是远远不够的，重要的是研究极限函数与函数列所具有的解析性质的关系。例如，能否由函数列每项的连续性，可导性，来判断出极限函数的连续性和可导性；或极限函数的导数或积分，是否分别是函数列每项导数或积分的极限，对这些更深刻问题的讨论，必须对它在D上的收敛性提出更高的要求才行。例2：设在,ab上，nfx一致收敛于fx，ngx一致收敛于gx。若存在正数列,,,1,2,...nMxabn。证明：nnfxgx在,ab上一致收敛于fxgx。证明：先证nfx一致有界。因为nfx一致收敛于fx，所以0,0N，当nN时,nfxfxxab特别地对1,有1nfxfx，所以11,nnfxfxM即fx是有界的。记1,supxabMfx，则当nN时，11,nnnfxfxM取121max,,...,1NMMMMM则有对于任意的,,,nnNxabfxM同理可证gx是有界的，即0,M使得3,,gxMxab，由于nfx一致收敛于fx，ngx一致收敛于gx，所以对0,0,N当nN时对一切,xab,22nnfxfxgxgxMM，所以当nN时有nnfxgxfxgxnnnfxgxfxgxfxgxfxgxnnnfxgxgxgxfxfx22MMMM故nnfxgx在,ab上一致收敛于fxgx.2.2利用函数列一致收敛性的柯西准则例3：设nfnx，1,2n为定义在,上的函数列，证明它的收敛域是1,1，且有极限函数0,1()1,1{xfxx（3）证明：任给0，（不防设1），当01x时，由于nnfxfxx，只要取ln,lnNxx，当nN,x时，就有nfxfx，当0x和1x时，则对任何正整数n，都有000nff，110nff.这就证得｛nf｝在1,1上收敛，且有（3）式所表现的极限函数.当1x时，则有nxn，当1x时，对应的数列为，1,1,1,1......它显然是发散的。所以函数列nx在区间1,