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第一章1.21.2.1第二课时排列的应用把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三第二课时排列的应用1．2.1排列[例1]有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(4)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？[思路点拨]本题的实质是从5个元素中选出3个元素的排列问题．[精解详析]从5个不同的课题中选3个，由3个兴趣小组进行研究，每种选法对应于从5个不同元素中选出3个元素的一个排列．因此不同的安排方法有＝5×4×3＝60种．A35[一点通]没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．解析：从12名选手中选出3名并安排奖次，共有种不同的获奖情况．答案：C1．12名选手参加校园歌手大奖赛，大赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖种数为()A．123B．312C．A312D．12＋11＋10A3122．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，则不同的选择方案共有()A．120种B．360种C．720种D．480种解析：从6人中选出4人进行排列，共有＝360种排法．答案：BA46[例2]用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数？(2)个位数字不是5的六位数？[思路点拨]这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．[精解详析](1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先排个位，有A13种排法；第二步排十万位，有A14种排法；第三步排其他位，有A44种排法．故共有A13A14A44＝288个六位奇数．法二：从特殊元素入手(直接法)0不在两端，有A14种排法；从1,3,5中任选一个排在个位，有A13种排法；其他位上用剩下的元素作全排列，有A44种排法．故共有A14A13A44＝288个六位奇数．法三(间接法)：6个数字的全排列有A66个，0,2,4在个位上的排列有3A55个，1,3,5在个位上、0在十万位上的排列有3A44个，故对应的六位奇数的排列数为A66－3A55－3A44＝288个．(2)法一(间接法)：0在十万位或5在个位的排列都不是符合题意的排列，这两类排列中都含有0在十万位且5在个位的情况．故符合题意的六位数共有A66－2A55＋A44＝504个．法二(直接法)：因为十万位数字的排法与个位上排0与不排0而有所不同，所以分两类．第一类，当个位排0时，有A55个；第二类，当个位不排0时，有A14A14A44个．故共有符合题意的六位数A55＋A14A14A44＝504个．[一点通]排列问题的本质是“元素”占“位置”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位置上或某个位置不排某些元素．解决该类问题的方法主要是“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足的特殊位置．3．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置上，那么不同的出场安排有________种．解析：分两步完成：第一步，安排三名主力队员，有A33种；第二步安排另2名队员，有A27种，所以共有A33·A27＝252种．答案：2524．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的5个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的口袋中，若不许有空袋，且红口袋不能装入红球，则有________种不同的放法．解析：先装红球，且每袋一球，共有＝96种．答案：96A14×A445．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表．要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为________(用数字作答)．答案：288解析：先在前3节课中选一节安排数学，有A13种安排方法；在除了数学课与第6节课外的4节课中选一节安排英语课，有A14种安排方法；其余4节课无约束条件，有A44种安排方法．根据分步乘法计数原理，不同的排法种数为A13·A14·A44＝288.[例3](10分)3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．(1)全体站成一排，男、女各站在一起；(2)全体站成一排，男生必须站在一起；(3)全体站成一排，男生不能站在一起；(4)全体站成一排，男、女各不相邻．[思路点拨](1)(2)中元素相邻，可用“捆绑法”，(3)(4)中元素不相邻，可用“插空法”．[精解详析](1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A33种排法；女生必须站在一起是女生的全排列，有A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法．由分步计数原理知，共有A33·A44·A22＝288种排队方法．分)(2)三个男生全排列有A33种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A55种排法．故有A33·A55＝720种排队方法．(5分)(3)先安排女生，共有A44种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A35种排法，故共有A44·A35＝1440种排法．(8分)(4)排好男生后让女生插空，共有A33·A44＝144种排法．(10分)[一点通](1)在实际排列问题中，有些元素必须相邻．在解决此类问题时，可先将其看成一个“大元素”与其他元素一起排列，再对这些元素进行全排列．(2)排列问题中，解决“不相邻”问题的有效方法是“插空法”，也就是先将其余元素排好，再将要求不相邻的元素插入空中进行排列．6．3个人坐8个位置，要求每人的左右都有空位，则有________种坐法．解析：该问题相当于有5个空位置，3个人带上凳子插入5个位置之间的四个空，插入方法有A34＝24种，故有24种不同的坐法．答案：247．用两个字母、五个数字组成一组密码，且字母、数字不能分开，则共能组成________个不同的密码．解析：共组成A22·A55·A22＝480个不同的密码．答案：480解决排列应用题的常用方法(1)位置分析法：以位置为主，特殊(受限)的位置优先考虑．有两个以上的约束条件时，往往根据其中的一个条件分类处理．(2)元素分析法：以元素为主，先满足特殊(受限)元素的要求，再处理其他元素．有两个以上的约束条件时，往往考虑一个元素的同时，兼顾其他元素．(3)间接法：也叫排异法，直接考虑时情况较多，但其对立面情况较少，相对来讲比直接解答简捷，可考虑用间接法．(4)插空法：先把无限制的元素排好，然后将不能相邻的元素插入排好的元素的空中．要注意无限制条件的元素的排列数及所形成的空的个数，此方法适用于“不相邻”问题的排列．(5)捆绑法：把要求在一起的“小集团”看成一个整体，与其他元素进行排列，同时不要忘记“小集团”内也要排列．此法适用于“相邻”问题的排列．