毕业论文：拉格朗日中值定理的应用

密级：JININGUNIVERSITY学士学位论文THESISOFBACHELOR题目拉格朗日中值定理的应用系别：数学系专业年级：2010级学生姓名：孟祥超学号：2010062314指导教师：张风云职称：起讫日期：目录摘要……………………………………………………………………………………………1关键字……………………………………………………………………………………………1Abstract…………………………………………………………………………………………1KeyWord…………………………………………………………………………………………10前言……………………………………………………………………………………………11对拉格朗日中值定理的理解……………………………………………………………11.1承上启下的定理……………………………………………………………………………11.2定理中的条件………………………………………………………………………………11.3定理中的…………………………………………………………………………………21.4定理的意义…………………………………………………………………………………22拉格朗日中值定理的证明………………………………………………………………23拉格朗日中值定理的应用………………………………………………………………33.1求极限………………………………………………………………………………………33.2证明不等式….………………………………………………………………………………53.3证明恒等式…………………………………………………………………………………83.4证明等式……………………………………………………………………………………93.5研究函数在区间上的性质………………………………………………………………103.6估值问题…………………………………………………………………………………113.7判定级数的收敛性………………………………………………………………………123.8证明方程根的存在性……………………………………………………………………133.9误用拉格朗日中值定理…………………………………………………………………14结束语…………………………………………………………………………………………15参考文献………………………………………………………………………………………16致谢……………………………………………………………………………………………161拉格朗日中值定理的应用摘要：拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，它是沟通函数及其导数之间关系的桥梁，课本中关于拉格朗日中值定理的应用并没有专门的讲解，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有系统的总结。本文首先进一步分析了定理的实质，以便使读者深入理解拉格朗日中值定理；然后从课本中证明拉格朗日中值定理的思想（构造辅助函数法）出发，提出了一个较简单的辅助函数，从而使拉格朗日中值定理的证明简单化；以此为理论依据并在别人研究的基础上，最后重点总结了拉格朗日中值定理在各个方面的应用。这对于正确的理解和掌握拉格朗日中值定理，以及以后进一步学习数学具有重要的作用和深远的意义。关键词：拉格朗日中值定理；应用；极限；不等式；收敛；根的存在性TheApplicationofLagrange'smeanvaluetheoremAbstract：TheLagrange'smeanvaluetheoremisoneofbasictheoremsofdifferentialcalculusanditalsoiscommunicationfunctionanditsderivativebridge.ThereisnospecialexplainationabouttheapplicationsofLagrange'smeanvaluetheoremandmanyresearchersalsojuststudieditinsomeapplicationsandnosystematicsummary.InordertomakethereaderunderstandLagrange'smeanvaluetheorem,thispaperfirstanalyzedtheessenceofthetheoremandthenfromtextbookproofLagrange'smeanvaluetheoremthoughts(structuremethodofauxiliaryfunction),putsforwardsasimplerauxiliaryfunction.ThusmaketheproofofLagrange'smeanvaluetheoremsimplify.Accordingtothistheoremandthebasisofothersstudy,finallysummarizedalltheaspectsapplicationofLagrange'smeanvaluetheorem.ItisquiteimportantforunderstandingandmasteringLagrange'smeanvaluetheoremandalsohaveasignificantandprofoundsignificanceforfurtherstudyofmathematics.Keywords：Lagrange'smeanvaluetheorem;Application;Limit;Inequality;Convergence;Rootsofexistence0前言函数与其导数是两个不同的的函数，而导数只是反映函数在一点的局部特征，如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这2种作用.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用拉格朗日中值定理通过导数去研究函数的性态，拉格朗日中值定理的主要作用在于理论分析和证明.拉格朗日中值定理是几个微分中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁。在高等代数与数学分析中的一些理论推倒中起着很重要的作用。课本中对拉格朗日中值定理的应用只是简单的举了例子，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有系统的总结，所以研究拉格朗日中值定理的应用，力求正确地理解和掌握它是十分必要的.拉格朗日中值定理：若函数f满足如下条件：（1）f在闭区间,ab上连续；（2）f在开区间,ab内可导，则在,ab内至少存在一点，使得'f=()()fbfaba。[1]对于此定理的应用，本文从求极限、估值问题、证明不等式、以及研究函数在区间上的性质等几个方面详细举例说明，以便我们更好的理解和掌握拉格朗日中值定理。1对拉格朗日中值定理的理解拉格朗日中值定理是微积分的基础定理之一，在理论和应用上都有着极其重要的意义。该定理的叙述简单明了，并有明确的几何意义，很容易简单掌握，但要深刻认识定理的内容，特别是点的含义，就有较大难度。熟练掌握定理的本质，会在解题时游刃有余，若对定理的实质了解不够深刻的话，会进入不少误区。下面从四个方面对定理进行分析，以便更好的掌握定理。1.1承上启下的定理拉格朗日中值定理是导数概念的延伸，是导数各种应用的理论基础。在讲完导数内容后，介绍导数的应用是顺理成章的。而正是这一定理使得导数概念与其应用有机的联系起来。例：函数2()3fxx，有'()2fxx，当(0,)x时，'()0fx，()fx单调增加；当(,0)x时，'()0fx，()fx单调减少；当0x时，'()0fx，(0)3f可见，函数的单调性的判定，是否取得极值可以用它的导数符号来确定。一般在某个区间上，若'()0fx，则()fx单调增加，若'()0fx，则()fx单调减少，若'()0fx，则()fx可能3在改点x处取得极值（此亦为定理）。又如例中，如果26x时，(6)(2)862ff，而'(4)8f，从而有(6)(2)'(4)62fff，即函数2()3fxx在某个闭区间端点的函数值之差同该区长度之比等于该区间内某一点的导数值。这样一来，通过具体实例会让学生容易学地接受定理的内容。[2]1.2定理中的条件函数在闭区间上连续、在开区间内可导是拉格朗日中值定理两个不可缺少的条件，是充分而不必要的条件。即由着两个条件一定可得出结论，但没有这两个条件，则无定论。例函数1()fxx在闭区间[1,1]上不连续，在开区间(-1,1)内不可导21(1)(1)11(1)ffx所以21x无实根，即在区间(-1,1)内不存在，使得'()1fx1.3定理中的如果在满足拉格朗日中值定理条件下，结论中的“至少存在”是关键所在。实际上是方程f’()=()()fbfaba（1）的所有实数解中属于区间,ab的那些解，而这些解的个数正是定理中的个数。例求函数2()241fxxx在区间（-1,1）内的解：显然函数在该区间内满足定理的条件,所以()()'()fbfafxkba即区间,ab内任何一点都可取为，这样的有无穷多个。但值得注意的是方程（l）一般不是简单的代数方程，不一定能解出，但这并不影响定理的应用，因为定理的重要性不在于一定要知道或者解出，而是在于确定了的存在性。1.4定理的意义（1）几何意义:定理中()()fbfaba是连接曲线上两点(,()),(,())AafaBbfb的弦的斜率，'()f是过曲线上一点(,())f的切线的斜率。那么，定理就可解释为在曲线()yfx上至少存在4一条平行于弦AB的切线。[1]（2）物理意义:如果()st表示物体的运动规律在定理的条件下，'()st表示物体运动到时间时的瞬时速度；2121()()ststtt表示物体从时间到平均速度，那么'()s2121()()ststtt12()tt表示物体在运动过程中，至少有那么一个时刻，其瞬时速度等于它的平均速度。2拉格朗日中值定理的证明拉格朗日中值定理是微分学的基本定理，它架起用导数来研究函数性质的桥梁。该定理的证明一直是人们研究的问题。它的证明通常是以罗尔中值定理作为预备定理，为此需要将拉格朗日中值定理的条件转化为罗尔定理的条件，这个转化过程就是要构造一个满足罗尔定理条件的新函数作为辅助函数。教科书上的证明方法正是通过此思想实现的，但所作的辅助函数不是很容易想到，下面提供一个更易理解、更简单的证明方法以供大家参考。分析：首先由定理的结论知()()'()fbfafba则可求()()[()]'10fbfafxxba从而可构造辅助函数()()()()fbfaxfxxba证明：先构造辅助函数()()()()fbfaxfxxba再用罗尔定理证明显然，()x在,ab连续，在（,ab）可导，fbfabfaafbafaababafbfabfaafbbfbbbaba()()ab5有罗尔定理知，()x在[,]ab连续，在（,ab）内可导，且()()ab，则()x在（,ab）内至少存在一点(,)ab，使'()0.从而可证()()'()fbfafba即证3拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理在微积分学中是一个重要的理论基础，是应用数学研究函数在区间上整体性态的有力工具，拉格朗日中值定理作为微分中值定理的核心，有着广泛的应用，如求极限、证明不等式和方程根的存在性等，它在很多题型中都起到了化繁为简的作用。下面通