随机变量的数字特征及其应用

青岛大学学士学位论文随机变量的数字特征（期望、方差、协方差）及其应用学院：数学与统计学院姓名：宋飞专业：信息与计算科学学号：201341702053指导教师：宋丽娜职称：副教授青岛大学学士学位论文I随机变量的数字特征（期望、方差、协方差）及其应用摘要：伴随着人类思想的进步与发展，实际问题的概率化思想已经深刻的融入在了生活的方方面面。然而，在很多事件发生的可能性的层面上来说，其结果往往会呈现出不确定性，在很多次重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，我们将其称为随机现象。把每件事情的发生与否抽象成随机变量，于是在某些实际问题或者理论问题中人们感兴趣于某些能描述随机变量某一种特征的常数，这种由随机变量的分布所确定的，能够描述随机变量某一方面的特征的常数统称为数字特征，它在理论和实际应用中都很重要。本文对随机变量的几个重要的数字特征（包含数学期望、方差、协方差）进行了相应的研究。在探究求每个不同的数字特征所各自代表的实际意义时，通过对其定义、产生背景、实际意义等方面进行逐一分析之后，配备了相应例题进行讲解分析，达到与生活实际融会贯通的目的。最后，通过对数字特征的数学分析，可以浅谈它们各自在实际生活中的应用，已达到学以致用的目的。关键词：随机变量；数字特征；期望；方差；协方差与相关系数青岛大学学士学位论文IIDigitalCharacteristics(Expected,Variance,Covariance)ofRandomVariablesandTheirApplicationsAbstract:Withtheprogressanddevelopmentofhumanthought,theprobabilisticthoughtofpracticalproblemshasbeendeeplyintegratedintoallaspectsoflife.However,atthelevelofthelikelihoodofoccurrenceofmanyevents,theresultstendtoshowuncertainty,andinmanytimestheresultsofrepeatedtrialshavestatisticalregularity,whichwecallrandomphenomena.Theoccurrenceofeachthingisabstractedasarandomvariable,soinsomepracticalproblemsortheoreticalproblemsinthepeopleinterestedinsomeofthecharacteristicsofarandomvariablecandescribeaconstant,whichisdeterminedbythedistributionofrandomvariables,Constantsthatdescribethecharacteristicsofaparticularaspectofarandomvariablearecollectivelyreferredtoasadigitalfeature,whichisimportantbothintheoryandinpracticalapplications.Inthispaper,severalimportantdigitalfeatures(includingmathematicalexpectation,variance,covariance)ofrandomvariablesarestudied.Inthestudyoftheactualmeaningofeachofthedifferentdigitalfeatures,throughitsdefinition,background,practicalsignificanceandotheraspectsoftheanalysis,withthecorrespondingexamplestoexplaintheanalysis,toachievethepurposeofintegrationwiththeactuallife.Finally,throughthemathematicalanalysisofdigitalfeatures,youcantalkabouttheirrespectiveapplicationsinreallife,hasreachedthepurposeoflearningtouse.Keywords:Randomvariables;digitalcharacteristics;expectation;variance;covarianceandcorrelationcoefficient青岛大学学士学位论文III青岛大学学士学位论文目录摘要.............................................................................................................................................I关键词.............................................................................................................................................I英文摘要.......................................................................................................................................II英文关键词...................................................................................................................................II1引言.........................................................................................................................................12数学期望.....................................................................................................................................22.1数学期望的引入及定义...............................................................................................22.2研究数学期望的重要性...............................................................................................32.3数学期望的应用问题....................................................................................................42.3.1数学期望在经济学中的应用…………………………………………..42.3.2数学期望在体育比赛中的应用………………………………………........53方差…………………………………………………………………………………73.1方差的引入与定义…………………………………………………………...73.2研究方差的重要性………………………………………………………….83.3方差的应用问题……………………………………………………………..94协方差及相关系数………………………………………………………………..104.1协方差………………………………………………………………………104.2相关系数……………………………………………………………………124.3协方差与相关系数的应用…………………………………………………13总结…………………………………………………………………………………..16参考文献………………………………………………………………………………………...17致谢…………………………………………………………………………………………….....18青岛大学学士学位论文-1-1引言随着人类社会的进步、科学技术与经济的发展，实际问题的概率研究已经与人们的生活不可分割，已经成为人们生活中不可或缺的一部分。随机变量数字特征是概率论中重要的内容,在概率论与数理统计中有着广泛的应用。“避其锋芒”“投其所好”的思想，无论是在金融理财还是在理论科学研究中都得到了更广泛的应用，从而可以看出，实际问题的概率分析在很长时间以前就得到了人们的关注，只不过在现在的生活中应用得更加的广泛与全面。在数学中，我们习惯将实际问题抽象为我们习惯的数学语言，随机现象的发生需要用随机变量来描述。随机变量的不同取值随实际试验的结果而定，而试验的结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值也就有一定的概率。不但如此，随机变量在不同条件下由于偶然因素的影响，其可能取各种不一样的值，其具有不确定性和随机性。随机变量分类有离散型随机变量和连续型随机变量。用来刻画随机变量在某一方面的特征的常数就统称为数字特征。而在本文当中，通过研究随机变量最重要也是平时用的最多的数字特征（数学期望、方差、协方差）的性质，总结出每个不同的数字特征所代表着的实际意义，加深理解数字特征对于解决实际问题的重要意义。最后，通过分析不同案例，总结出各个不同的数字特征在实际生活中的应用，达到在解决问题时的“游刃有余”，做到“知己知彼，百战百殆”。青岛大学学士学位论文-2-2数学期望2.1数学期望的引入及定义我们首先来看一个例子中国体彩新推出一种福利彩票，每张彩票都对应一个兑奖号码，每卖出50万张彩票设一个开奖组，一张彩票的获奖金额概率如下获奖金额的分布金额（元）01050500500050000500000P0.90.090.0090.00090.000090.0000090.0000009问：每张彩票售价多少时可以确保体彩中心不会亏损？分析：要保证体彩中心不会亏损的话，每张彩票的价格不能低于每张彩票平均获得的金额，也就是说每张彩票的价格不能低于E(X)=1nkkkxp=3.2。数学期望求解最重要的就要是先求出随机变量的分布列，所以此例中要求出购买多少次才首次中奖，则需先求出首次中奖时购买次数的分布列，如下表次数123…k…P0.10.090.081…0.1*0.9k-1…于是可以引出这种离散型随机变量的数学特征的概念定义1：设离散随机变量X的分布列为p(xi)=P(X=xi),i=1,2,…，n,….如若1()iiixpx,则称1()()iiiEXxpx为随机变量X的数学期望，或者可以称之为该分布的数学期望，简称为期望或均值.假如级数1()kkkxpx不收敛，则称X的数学期望不存在。在以上的定义中，要求级数绝对收敛的目的是为了使数学期望唯一。这是因为随机变量的取值可正可负，取值的次序也可前可后。我们可以从无穷级数的理论知道，如果此无穷级数绝对收敛，则可保证它的和不受次序变动的影响。因为有限项的和不受次序变动的影响，所以取有限个可能值的随机变量的数学期望总青岛大学学士学位论文-3-是存在的。以上的定义是针对离散型随机变量的数学期望，而连续型随机变量的数学期望的定义完全类似于离