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第一章习题1.1沿水平方向前进的枪弹，通过某一距离s的时间为t1，而通过下一等距离s的时间为.试证明枪弹的减速度（假定是常数）为2t()()2121122tttttts+−1.2某船向东航行，速率为每小时15km,在正午某一灯塔。另一船以同样速度向北航行，在下午1时30分经过此灯塔。问在什么时候，两船的距离最近？最近的距离是多少？1.3曲柄,rAO=以匀角速ω绕定点O转动。此曲柄借连杆AB使滑块B沿直线Ox运动。求连杆上C点的轨道方程及速度。设aCBAC==，ψϕ=∠=∠ABOAOB,。xyCaBAψϕrOa第1.3题图1.4细杆OL绕点以角速Oω转动，并推动小环C在固定的钢丝AB上滑动。图中的为已知常数，试求小球的速度及加速度的量值。dABOCLxθd1.5矿山升降机作加速度运动时，其变加速度可用下式表示：⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=Ttca2sin1π式中c及T为常数，试求运动开始秒后升降机的速度及其所走过的路程。已知升降机的初速度为零。t1.6一质点沿位失及垂直于位失的速度分别为rλ及μθ，式中λ及μ是常数。试证其沿位矢及垂直于位失的加速度为⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−rrrμλμθθμλ,2221.7试自θθsin,cosryrx==出发，计算及。并由此推出径向加速度及横向加速度。xyraθa1.8直线FM在一给定的椭圆平面内以匀角速ω绕其焦点转动。求此直线与椭圆的焦点FM的速度。已知以焦点为坐标原点的椭圆的极坐标方程为()θcos112eear+−=式中为椭圆的半长轴，为偏心率，都是常数。ae1.9质点作平面运动，其速率保持为常数。试证其速度矢量v与加速度矢量a正交。1.10一质点沿着抛物线运动其切向加速度的量值为法向加速度量值的倍。如此质点从正焦弦pxy22=k2−⎟⎠⎞⎜⎝⎛pp,2的一端以速度u出发，试求其达到正焦弦另一端时的速率。1.11质点沿着半径为r的圆周运动，其加速度矢量与速度矢量间的夹角α保持不变。求质点的速度随时间而变化的规律。已知出速度为。0v1.12在上题中，试证其速度可表为()00θθ−=evvαctg式中θ为速度矢量与x轴间的夹角，且当0=t时，0θθ=。1.13假定一飞机从A处向东飞到B处，而后又向西飞回原处。飞机相对于空气的速度为v′，而空气相对于地面的速度为。0vA与B之间的距离为l。飞机相对于空气的速度保持不变。v′()a假定，即空气相对于地面是静止的，试证来回飞行的总时间为ovo=vlt′=20()b假定空气速度为向东（或向西），试证来回飞行的总时间为20021vvttB′−=()c假定空气的速度为向北（或向南），试证来回飞行的总时间为20021vvttN′−=1.14一飞机在静止空气中每小时的速率为100千米。如果飞机沿每边为6千米的正方形飞行，且风速为每小时28千米，方向与正方形的某两边平行，则飞机绕此正方形飞行一周，需时多少？1.15当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2米的甲板，篷高4米。但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3米。如果雨点的速度为8米/秒，求轮船的速率。1.16宽度为的河流，其流速与到河岸的距离成正比。在河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为。一小船以相对速度dcu沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点。1.17小船M被水冲走后，由一荡桨人以不变的相对速度朝岸上2CA点划回。假定河流速度沿河宽不变，且小船可以看成一个质点，求船的轨迹。1C1.18一质点自倾角为α的斜面上方点，沿一光滑斜槽OOA下降。如欲使此质点到达斜面上所需的时间为最短，问斜槽OA与竖直线所成之角θ应为何值？θαOA1.19将质量为m的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比，即22gvmkR=。如上抛时的速度为0v，试证此质点又落至投掷点时的速度为022011vkvv+=1.20一枪弹以仰角α、初速度自倾角为0vβ的斜面的下端发射。试证子弹击中斜面的地方和发射点的距离（沿斜面量取）及此距离的最大值分别为d()ββαα202cossincos2−=gvd⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=24sec2202maxβπgvd。1.21将一质点以初速抛出，与水平线所成之角为0v0vα。此质点所受到的空气阻力为其速度的mk倍，m为质点的质量，k为比例系数。试求当此质点的速度与水平线所成之角又为α时所需的时间。1.22如向互相垂直的匀强电磁场E、B中发射一电子，并设电子的初速度V与E及B垂直。试求电子的运动规律。已知此电子所受的力为e()BvE×+，式中E为电场强度，e为电子所带的电荷，v为任一瞬时电子运动的速度。1.23在上题中，如()a0=B，则电子的轨道为在竖直平面()平面xy的抛物线；()b如，则电子的轨道为半径等于0=EeBmV的圆。试证明之。1.24质量为m与的两质点，为一不可伸长的轻绳所联结，绳挂在一光滑的滑轮上。在m2m的下端又用固有长度为a、倔强系数k为amg的弹性绳挂上另外一个质量为m的质点。在开始时，全体保持竖直，原来的非弹性绳拉紧，而有弹性的绳则处在固有的长度上。由此静止状态释放后，求证这运动是简谐的，并求出其振动周期τ及任何时刻两段绳中的张力T及T′。aTT••T′mm2T′•1.25滑轮上系一不可伸长的绳，绳上悬一弹簧，弹簧另一端挂一重为W的物体。当滑轮以匀速转动时，物体以匀速0v下降。如将滑轮突然停住，试求弹簧的最大伸长及最大张力。假定弹簧受W的作用时的静伸长为0λ。1.26一弹性绳上端固定，下端悬有及mm′两质点。设a为绳的固有长度，b为加m后的伸长，c为加m′后的伸长。今将m′任其脱离而下坠，试证质点m在任一瞬时离上端的距离为Otbgcbacos++1.27一质点自一水平放置的光滑固定圆柱面凸面的最高点自由滑下。问滑至何处，此质点将离开圆柱面？假定圆柱体的半径为r。1.28重为W的不受摩擦而沿半长轴为、半短轴为ab的椭圆弧滑下，此椭圆的短轴是竖直的。如小球自长2轴的端点开始运动时，其初速度为零，试求小球在到达椭圆的最低点时它对椭圆的压力。1.29一质量为m的质点自光滑圆滚线的尖端无初速地下滑。试证在任何一点的压力为θcos2mg，式中θ为水平线和质点运动方向间的夹角。已知圆滚线方程为()()θθθ2cos1,2sin2cayax=−=+=1.30在上题中，如圆滚线不是光滑的，且质点自圆滚线的尖端自由下滑，达到圆滚线的最低点时停止运动，则摩擦系数μ应满足下式12=μπμe试证明之。1.31假定单摆在有阻力的媒质中振动，并假定振幅很小，故阻力与成正比，且可写为，式中是摆锤的质量，θθmklR2−=ml为摆长，为比例系数。试证当＜k2klg时，单摆的振动周期为lkgl22−=πτ1.32光滑楔子以匀加速度沿水平面运动。质量为的质点沿楔子的光滑斜面滑下。求质点的相对加速度和质点对楔子的压力。0ama′P1.33光滑钢丝圆圈的半径为r，其平面为竖直的。圆圈上套一小环，其中为。如钢丝圈以匀加速度沿竖直方向运动，求小环的相对速度及圈对小环的反作用力warvR。1.34火车质量为m，其功率为常数。如果车所受的阻力为常数，则时间与速度的关系为：kf()fvvmvfkfvkfmkt002ln−−−−=如果和速度成正比，则fv()vfkvfvvkfmvt−−=02ln2式中为初速度，试证明之。0v1.35质量为的物体为一锤所击。设锤所加的压力，是均匀地增减的。当在冲击时间mτ的一半时，增至极大值，以后又均匀减小至零。求物体在各时刻的速率以及压力所作的总功。P1.36检验下列的力是否是保守力。如是，则求出其势能。()a，，233206ybxyabzFx−=ybxabxzFy43106−=218abxyzFz=()b()()()zFyFxFzyxkjiF++=1.37根据汤川核力理论，中子与质子之间的引力具有如下形式的势能：()krkerVar,−=＜0试求()a中子与质子间的引力表达式，并与平方反比定律相比较；()b求质量为的粒子作半径为的圆运动的动量矩及能量maJE。1.38已知作用在质点上的力为zayaxaFzayaxaFzayaxaFzyx333231232221131211++=++=++=式中系数都是常数。问这些应满足什么条件，才有势能存在？如这些条件满足，试计算其势能。(3,2,1,=jiaij)ija1.39一质点受一与距离23次方成反比的引力作用在一直线上运动。试证此质点自无穷远到达时的速率和自静止出发到达aa4a时的速率相同。1.40一质点受一与距离成反比的引力作用在一直线上运动，求其达到点所需的时间。O1.41试导出下面有心力量值的公式：drdpmhF222−=式中m为质点的质点，r为质点到力心的距离，常数，为力心到轨道切线的垂直距离。==θ2rhp1.42试利用上题的结果，证明：()a如质点走一圆周，同时力心位于此圆上，则力与距离五次方成反比。()b如一质点走一对数螺线，而其质点即力心，则力与距离立方成反比。1.43质点所受的有心力如果为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=322rrmFνμ式中μ及ν都是常数，并且ν＜，则其轨道方程可写成2hθkearcos1+=试证明之。式中222222222,,μμνhAkehkahhk==−=（A为积分常数）。1.45如及为质点在远日点及近日点处的速率，试证明aspsps﹕=as()e+1﹕()e−11.46质点在有心力作用下运动。此力的量值为质点到力心距离r的函数，而质点的速率则与距离成反比，即rav=。如果＞2a2h()θ2rh=，求点的轨道方程。设当时，0rr=0=θ。1.47()a某彗星的轨道为抛物线，其近日点距离为地球轨道（假定为圆形）半径的n1。则此彗星运行时，在地球轨道内停留的时间为一年的π32nnnn212−+倍，试证明之。()b试再证任何作抛物线轨道的彗星停留在地球轨道（仍假定为圆形）内的最长时间为一年的π32倍，或约为76日。1.48试根据§1.9中所给出的我国第一颗人造地球卫星的数据，求此卫星在近地点和远地点的速率及以及它绕地球运行的周期1v2vτ（参看79页）。1.49在行星绕太阳的椭圆运动中，如令TdtEaera==−∫τπ2,cos，式中τ为周期，a为半长轴，e为偏心率，E为一个新的参量，在天文学上叫做偏近点角。试由能量方程推出下面的开普勒方程：EeETsin−=1.50质量为m的质点在有心斥力场3rmc中运动，式中r为质点到力心的距离，Oc为常数。当质点离很远时，质点的速度为，而其渐进性与O∞vO的垂直距离则为ρ（即瞄准距离）。试求质点与O的最近距离a。OmAaρ••v∞v第一章习题解答1.1由题可知示意图如题1.1.1图:{{SS2t1t设开始计时的时刻速度为,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为.0va则有:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+−+=−=221210211021221ttattvsattvs由以上两式得11021attsv+=再由此式得()()2121122ttttttsa+−=证明完毕.1.2解由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题1.2.1图.ABO设A船经过小时向东经过灯塔,则向北行驶的0tB船经过⎟⎠⎞⎜⎝⎛+2110t小时经过灯塔任意时刻A船的坐标()ttxA15150−−=，0=AyB船坐标，0=Bx⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=ttyB15211150则AB船间距离的平方()()222BABAyyxxd−+−=即()2021515ttd−=201521115⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎟⎠⎞⎜⎝⎛++tt()202002211225225675900450⎟⎠⎞⎜⎝⎛++++−=ttttt2d对时间求导t()()67590090002+−=ttdtddAB船相距最近，即()02=dtdd，所以htt430=−即午后45分钟时两船相距最近最近距离22min231543154315⎟⎠⎞⎜⎝⎛×−×+⎟⎠⎞⎜⎝⎛×=skm1.3解()1如题1.3.2图xyCaBAψϕrOa••ABCraϕψωxyO由题分析可知，点C的坐标为⎩⎨⎧=+=ψψϕsincoscosayarx