数值分析作业答案(第5章)-part2

5.6.证明：(1).如果A是对称正定矩阵，则1A也是对称正定矩阵(2).如果A是对称正定矩阵，则A可以唯一地写成LLAT，其中L是具有正对角元的下三角矩阵。证明：(1).因A是对称正定矩阵，故其特征值i皆大于0，因此1A的特征值1i也皆大于0。因此1i也皆大于0，故A是可逆的。又111)()(AAATT则1A也是对称正定矩阵。(2).由A是对称正定，故它的所有顺序主子阵均不为零，从而有唯一的杜利特尔分解ULA~。又022211111122211111DUuuuuuuuuuUnnnn其中D为对角矩阵，0U为上三角矩阵，于是0~~DULULA由A的对称性，得~0TTTLDUAA由分解的唯一性得~0LUT从而~~TLDLA由A的对称正定性，如果设),,2,1(niDi表示A的各阶顺序主子式，则有011Dd，01iiiDDd，ni,,3,2故2121212121DDdddddddddDnnn因此TTTLLDLDLLDDLA)(21~21~~2121~，其中21~DLL为对角元素为正的下三角矩阵。5.7.用列主元消去法解线性方程组615318153312321321321xxxxxxxxx并求出系数矩阵A的行列式(即Adet)的值。解113/110053/710151318676/3118/176/7053/7101513186111153312151318)(3232181213121mbAmmrr所以解为33x，22x，11x，66detA。5.9.用追赶法解三对角方程组bAx，其中2100012100012100012100012A，00001b。解设A有分解1111111112112112112112432154321，由公式4,3,2,,5,4,3,2,,,111111icibcbiiiiiii其中)5,,2,1(ibi，)4,,2,1(ici分别是系数矩阵的主对角元素及其下边和上边的次对角线元素。具体计算，可得21，232，343，454，565，211，322，433，544。由00001561451341231254321yyyyy，得211y，312y，413y，514y，615y；再由6151413121154143132121154321xxxxx，得615x，314x，213x，322x，651x。5.11.下述矩阵能否分解为LU(其中L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵)？若能分解，那么分解是否唯一？764142321A，133122111B，461561552621C。解A中02，故不能分解。但由于010detA，所以若交换A的第1行与第3行，则可以分解且分解是唯一的。在B中，032，故不能分解。但B可以分解为33320010011113121ulB，其中32l，33u为任意常数，且U奇异，故分解不唯一。对于C，)3,2,1(0ii，故C可以分解且分解唯一。131621136121C。5.13.求证：(1).xnxx1；(2).FFAAAn21。证明(1).由定义知xnxxxxxxniniininiiini111111maxmax故xnxx1。(2).由范数定义，有niFnjijniinniiniiTTnTTTAaaaaAAtrAAAAAAAAA12121212212121max22)()()()()(又221max221)]()()([1)(FTnTTTAnAAAAAAnAAA所以FFAAAn21。5.14.设nnRP且非奇异，又x设为nR上一向量范数，定义PxxP试证明Px是nR上向量的一种范数。证明只需证明Px满足向量范数的三个条件。(1).因P非奇异，故对任意0x，有0Px，故0PxxP，当且仅当0x时，有0PxxP。(2).对任意R，有PPxPxxPx。(3).对任意nRyx,，有PPPyxPyPxPyPxyxPyx)(，故Px是nR上的向量范数。5.15.设A为对称正定矩阵，定义21,xAxxA，试证明Px是nR上向量的一种范数。证明只需证明Ax满足向量范数的三个条件。(1).因A正定对称，故当0x，0,21xAxxA；而当0x时，0,21xAxxA。(2).对任意R，有ATTAxAxxxAxxxAx()()(,21。(3).因A正定，故有分解TLLA，因而22121))()(()()(xLxLxLxLLxAxxxTTTTTTTA对任意nRyx,，由2的三角不等式有222222)(TTTTTTTALLyLxLyLxLyxLyx，故Ax是nR上的向量范数。