信号与系统(郑君里)复习要点

1信号与系统复习书中最重要的三大变换几乎都有。第一章信号与系统1、信号的分类①连续信号和离散信号②周期信号和非周期信号连续周期信号f(t)满足f(t)=f(t+mT)，离散周期信号f(k)满足f(k)=f(k+mN)，m=0,±1,±2,…两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。③能量信号和功率信号④因果信号和反因果信号2、信号的基本运算（+-×÷）2.1信号的（+-×÷）2.2信号的时间变换运算（反转、平移和尺度变换）3、奇异信号3.1单位冲激函数的性质f(t)δ(t)=f(0)δ(t)，f(t)δ(t–a)=f(a)δ(t–a)例：3.2序列δ(k)和ε(k)f(k)δ(k)=f(0)δ(k)f(k)δ(k–k0)=f(k0)δ(k–k0)4、系统的分类与性质4.1连续系统和离散系统4.2动态系统与即时系统4.3线性系统与非线性系统①线性性质T[af(·)]=aT[f(·)](齐次性)T[f1(·)+f2(·)]=T[f1(·)]+T[f2(·)]（可加性）②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：)0(d)()(ftttf)(d)()(aftattf?d)()4sin(91ttt)0('d)()('fttft)0()1(d)()()()(nnnfttft4)2(2])2[(ddd)(')2(0022tttttttt)(1||1)()()(taaatnnn)(||1)(taat)(||1)(00attatat)0()()(fkkfk2y(·)=yf(·)+yx(·)=T[{f(·)},{0}]+T[{0}，{x(0)}](可分解性)T[{af(·)},{0}]=aT[{f(·)},{0}]T[{f1(t)+f2(t)},{0}]=T[{f1(·)},{0}]+T[{f2(·)},{0}](零状态线性)T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}](零输入线性)4.4时不变系统与时变系统T[{0}，f(t-td)]=yf(t-td)(时不变性质)直观判断方法：若f(·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。LTI连续系统的微分特性和积分特性①微分特性：若f(t)→yf(t)，则f’(t)→y’f(t)②积分特性：若f(t)→yf(t)，则4.5因果系统与非因果系统5、系统的框图描述第二章连续系统的时域分析1、LTI连续系统的响应1.1微分方程的经典解y(t)(完全解)=yh(t)(齐次解)+yp(t)(特解）描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求（1）当f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)=-1时的全解；（2）当f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0时的全解2、冲激响应系统在单位冲激信号作用下的零状态响应，求解方法①系数平衡法系统方程两端对应系数相等②由单位阶跃响应求单位冲激响应，即()()dttdt例y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。3、阶跃响应系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应。4、卷积积分4.1定义1212()()()()ftftfft4.2任意信号作用下的零状态响应ttxxyxxfd)(d)(f34.3卷积积分的求法按照定义图解法4.4卷积积分的性质①交换律②结合律③分配律④积分性质⑤微分性质⑥任意时间函数与冲激函数的卷积f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)；f(t)*δ’(t)=f’(t)；f(t)*ε(t)⑦卷积的时移性质f1(t–t1)*f2(t–t2)=f1(t–t1–t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t–t1–t2)=f(t–t1–t2)第三章离散系统的时域分析1、LTI离散系统的响应1.1差分与差分方程1.2差分方程的经典解（和微分方程相类似）1.2.1y(k)=yh(k)+yp(k)当特征根λ为单根时，齐次解yn(k)形式为：Cλk当特征根λ为r重根时，齐次解yn(k)形式为：(Cr-1kr-1+Cr-2kr-2+…+C1k+C0)λk当特征根λ为一对共轭复根时，齐次解yn(k)形式为：1.2.2特解yp(k):特解的形式与激励的形式雷同(r≥1）。①所有特征根均不等于1时;yp(k)=Pmkm+…+P1k+P0②有r重等于1的特征根时;yp(k)=kr[Pmkm+…+P1k+P0]（2）激励f(k)=ak①当a不等于特征根时;yp(k)=Pak②当a是r重特征根时;yp(k)=（Prkr+Pr-1kr-1+…+P1k+P0)ak（3）激励f(k)=cos(βk)或sin(βk)且所有特征根均不等于e±jβ；yp(k)=Pcos(βk)+Qsin(βk)nnnnnnttftftfttftftftd)(d*)()(*d)(d)(*)(dd212121]d)([*)()(*]d)([d)](*)([212121tttftftffff1,2jecos()sin()kCkDk4若描述某系统的差分方程为y(k)+4y(k–1)+4y(k–2)=f(k)已知初始条件y(0)=0，y(1)=–1；激励f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。1.3零输入响应和零状态响应2、单位序列响应和阶跃响应2.1单位序列响应2.1.1定义2.1.2求法递推求初始值，求齐次差分方程的解例已知某系统的差分方程为y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)求单位序列响应h(k)。例若方程为：y(k)–y(k–1)–2y(k–2)=f(k)–f(k–2)求单位序列响应h(k)2.2阶跃响应2.2.1定义2.2.2求法3常用序列01()()(1)()()()(1)()1()(1)()21()(1)1ikikikkiikkkkkiikkiikkkaaiaa4离散信号的卷积和4.1任意序列的分解f(k)4.2列作用下的零状态响应4.3定义4.4卷积和的求法4.4.1图解法卷积过程可分解为四步：0)()()(jkjjkhihkg，h(k)=g(k)iikif)()(ifikhifky)()()(iikfifkf)()()(215（1）换元：k换为i→得f1(i)，f2(i)（2）反转平移：由f2(i)反转→f2(–i)右移k→f2(k–i)（3）乘积：f1(i)f2(k–i)（4）求和：i从–∞到∞对乘积项求和。注意：k为参变量。4.1.2不进位乘法求卷积例f1(k)={0，2，1，5，0}↑k=1f2(k)={0，3，4，0，6，0}↑k=04.2卷积和的性质4.2.1法的三律：(1)交换律,(2)分配律,(3)结合律.4.2.4f1(k–k1)*f2(k–k2)=f1(k–k1–k2)*f2(k)第四章连续系统的频域分析1傅里叶级数1.1傅里叶级数的三角形式1.2波形的对称特性和谐波特性A.f(t)为偶函数——对称纵坐标展开为余弦级数B.f(t)为奇函数——对称于原点展开为正弦级数Cf(t)为奇谐函数——f(t)=–f(t±T/2)傅里叶级数中只含奇次谐波分量Df(t)为偶谐函数——f(t)=f(t±T/2)只有直流(常数)和偶次谐波。1.3傅里叶级数的指数形式2周期信号频谱的特点(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。4.2.2f（k)*δ(k)=f(k)，f(k)*δ(k–k0)=f(k–k0)4.2.3.f(k)*ε(k)=kiif)(4.2.5[f1(k)*f2(k)]=f1(k)*f2(k)=f1(k)*f2(k)110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTbntjnnFtfe)(221()edTjntTnFfttTn=0,±1,±2，…6例：周期信号f(t)=试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画出它的单边频谱图。3傅里叶变换3.1定义3.2常用函数的傅里叶变换（1）单边指数函数f(t)=e–tε(t)，0实数（2）双边指数函数f(t)=e–t,0（3）门函数(矩形脉冲)（4）冲激函数(t)、´(t)（5）常数1（6）符号函数（7）阶跃函数3.3傅里叶变换的性质（1）线性（2）时移性质(TimeshiftingProperty)（3）对称性质(SymmetricalProperty)（4）频移性质(FrequencyShiftingProperty)（5）尺度变换性质(ScalingTransformProperty)1211cossin243436ttjjtjFtjtjt1e1dee)(0)(02200211deedee)(jjttjFtjttjt2,02,1)(tttgjtjFjjtj222/2/eede)()2Sa()2sin(21de)()(ttttjjttttttjtj0eddde)(')(')(2)(2de1ttj220022sgn()lim()limjtFjj111()sgn()()22ttj[af1(t)+bf2(t)]←→[aF1(jω)+bF2(jω)]00()e()jtfttFjF(jt)←→2πf(–ω)00[()]e()jtFjft1()||fatFjaa7（6）卷积性质(ConvolutionProperty)（7）时域的微分和积分（8）频域的微分和积分（9）怕赛瓦尔关系（10）奇偶性(Parity)4周期信号的傅里叶变换5连续系统的频域分析5.15.2无失真传输y(t)=Kf(t–td)Y(j)=Ke–jtdF(j)例：系统的幅频特性|H(jω)|和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是6抽样定理第五章连续系统的s域分析Iff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)Thenf1(t)*f2(t)←→F1(jω)F2(jω)Thenf1(t)f2(t)←→F1(jω)*F2(jω)12()()()()nnftjFj()()d(0)()tFjfxxFj0(0)()()dFFjftt(–jt)nf(t)←→F(n)(jω)1(0)()()()dftftFjxxjt1(0)()d2fFjd)(21d)(22jFttfEnnTntjnnTnFjFFtf)(2)(e)(22de)(1TTtjnTnttfTFY(j)=F(j)H(j)(a)(b)10-10π5-500ωω|H(jω)|θ(ω)5-5(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f