高等量子力学-第一章--希尔伯特空间

第一章希尔伯特空间本章讨论量子力学的主要数学工具——希尔伯特空间，即满足一定要求的多维矢量空间。主要内容：§1矢量空间§2算符§3本征矢量和本征值§4表象理论§5矢量空间的直和与直积§1矢量空间§1-1定义§1-2正交性和模§1-3基矢§1-4子空间§1-5右矢和左矢主要内容：§1-1矢量空间的定义我们讨论的对象是很广泛的，可以是实数或复数，可以是有序的一组数，可以是有方向的线段，也可以是一种抽象的东西。我们把这些通称之为数学对象。同类的许多数学对象满足下面所述的一系列要求时，就构成一个矢量空间；每一个对象称为空间的一个元，或称为矢量。我们考虑无穷多个同类的数学对象的集合,...,,，在它们之间规定加法、数乘和内积三种运算。加法集合中任意两个矢量相加，都能得到集合中一矢量。即规定一种加法规则，使得集合中任意给定两个矢量和，总有一个确定的矢量与之对应，记成加法规则视不同对象可以不同，但一定要满足下列四个条件：条件（1）（交换律）条件（2）)()(（结合律）条件（3）集合中有零矢量存在，对任意矢量满足条件（4）对集合中任意矢量，都有矢量存在，满足（加法逆元存在）（加法单位元存在）我们把满足条件（4）的记为同时把)(记为数乘集合内任意一矢量可以与数（实数或复数）相乘，得出集合内另一矢量。即规定一种数乘规则，使任意矢量和一个数a，在集合内总有一个矢量与之对应，记为称为与的乘积。条件（5）：1条件（6）：)()(abba（结合律）条件（7）：baba)(（第一分配律）条件（8）：aaa)(（第二分配律）α是实数时，空间称为在实数域上的矢量空间；α是复数时，空间称为在复数域上的矢量空间。数乘要满足下列四个条件：aa内积两个矢量可以作内积，得出一个数。即规定一种内积规则，按一定次序任取两个矢量与，总有一个数c与之相对应，记作c),(在实数域（复数域）上的矢量空间中的内积，所得的也是实数（复数）。内积与两个因子的次序有关，内积规则要满足下列四个条件：条件（9）：*),(),(（*c表示c的复共轭）条件（10）：（,）=（,）+),(（分配律）条件（11）：,,条件（12）：0),(对任意成立；若0),(，则必有),(),(*具有加法与数乘两种运算并满足条件（1）~（8）的集合称为矢量空间或线性空间。具有加法，数乘和内积三种运算的空间称为内积空间，而完全的内积空间称为希尔伯特空间。在本章中，矢量空间一词通常指在复数域上的内积空间。空间的完全性的意义为空间中任何在Cauchy意义下收敛的序列,...},,{321的极限也必须在本空间中。Cauchy意义下收敛的意思是：对给定任意小的实数0，有数N存在，当m,nN时，有）（nmnm,在量子力学中所用到的空间，就是复数域上的希尔伯特空间。下面我们举出矢量空间的一些简单性质。（1）在矢量空间中，零矢量是唯一的。证明：设在空间中有1和2，对所有矢量都满足21,取第一式的为2，第二式中的为1，分别得121212,于是，根据条件（1），121122即21，只有唯一的零矢量。（2）每个矢量的逆元是唯一的。证明：若21,都是的逆元，即21,于是2221212111)()()(证明了21，即逆元是唯一的。在上式中，第一步根据条件（3），第三步根据条件（1）。（3）0（4）)1(（5）（6）如果，那么0或者证明：0时上式显然成立；当0时，必有/11存在。我们计算1)(，一方面根据（5），11)(另一方面根据条件（6）和（5），有1)()(11二式结合，证明了当0时，（7）),(),(*（8）),(),(),(（9）0),(下面，讨论几个矢量空间的例子。值得注意的是在这个空间中，有的序列的极限超出这一空间之外。例如取以下序列：niinsssss0210!1,...,!21!111,!111,1这个序列的每一项都在我们的空间中，但是当的极限是e=2.7182818…,这是一个无理数，不在有理数空间中。n第一个例子取数学对象为所有正负有理数和零，规定加法即为算术中的加法；规定数乘中的数a也限于所有的有理数，数乘即是算术中的乘法；最后规定内积为两个因子的算术乘积。这是一个在有理数域上的矢量空间。因为有理数相加和相乘所得的都是有理数，这个空间是封闭的，即所得结果仍在空间之中。第二个例子取数学对象为三维位形空间中由一点引出的不同方向不同长短的线段的全体，即理论力学中位置矢量全体。规定加法服从平行四边形法则；数乘中的数是实数，以a数乘的结果是方向不变，长度乘以a；内积是两矢量的点乘积。这是一个实数域上的内积空间。第三个例子取数学对象为一组有次序的复数，例如四个数，可以把它们写成一个一列矩阵：4321lllll加法，数乘和内积的定义分别为44332211mlmlmlmlml4321lllll4*43*32*21*1),(mlmlmlmlml这是一个复数域上的内积空间。如果内积定义为：4*43*32*21*1),(mlmlmlmlml432空间是否仍然是一个内积空间？第四个例子数学对象为在bxa区间定义的实变量x的“行为较好”的复函数)(xf的全体，而且都是平方可积的。所谓“行为较好”是指满足一定数学要求，如单值性、连续性及导数存在等等，这里我们不去详细讨论。规定加法和数乘都是代数中的相应运算；规定两个函数)(xf和)(xg的内积为badxxgxfxgxf)()()(),(*这样的函数全体构成一个内积空间，平方可积的意思是badxxfxf)()(*§1-2正交性和模如果两个矢量和的内积为零，即0），（，我们说这两个矢量正交。矢量同它自己的内积），（是一个大于零的实数，称为矢量的模方，记作2），（模方的正平方根称为模，记作，又可称为矢量的长度。模等于1的矢量称为归一化的矢量。下面我们证明两个与模有关的基本关系。Schwartz不等式：对于任意矢量和有），（（1.1）证明：给定和后，构造一个矢量，2），（作的模方，它一定大于或等于零：22222*2*2210），（），（），（），（），（），（），（），（），（22222*2*2210），（），（），（），（），（），（），（），（），（22222*2*2210），（），（），（），（），（），（），（），（），（)),(,),((22由于02，所以有222），（即），（),(),(*三角形不等式：对于任意和，有（1.2）2222222),(2),Re(2),(证明：因为对任意复数a有aaRe，取的模方，利用此关系和Schwartz不等式，有2222222),(2),Re(2),(22),(),(于是得22§1-3基矢1.线性无关矢量空间中有限个（n个）矢量的集合i，若下式01niiia(1.3)只有当全部复数),...,3,2,1(niai都为零时才成立，则这n个矢量i是线性无关的。对于无穷个矢量的集合，线性无关的定义可以推广为：在无穷个矢量的集合中，若任意有限的子集合都是线性无关的，则整个集合就是线性无关的。完全集一个矢量空间中的一组完全集，是一个线性无关的矢量集合i，这个空间中的每个矢量都能表为完全集中矢量的线性叠加，即每一矢量都能写成iiia的形式，其中ia是一组复数。如果一个空间中有一个线性无关的矢量集n,...,21，但还不是完全集，这时可以把不能表为其线性叠加的一个矢量命名为1n，加入这个矢量集。这时121,,...,nn，肯定是线性无关的，如仍不完全，还可以用同样的方法使这矢量集扩大，直到成为完全集为止。如果能做到这一点，这个矢量空间称为有限维的，如果做不到这一点，则空间是无穷维的。定理：在有限维空间内各种不同的完全集中所含矢量的数目是相同的。证明：设一矢量空间中有两组不同的完全集n,...,21和m...,21，，，前者有n个，后者有m个。如果把1加入到完全集}{中去，成为一个集合n,...,211，，这个集合必然是线性相关的。这是因为是完全集，1肯定能表为i的线性叠加。现在依次考虑},,{},,{},{211111,…，每次增加一个。开始它们是线性无关的，必然有一个数i(ni1)，在加入i之后集合开始成为线性相关。这时把i去掉，加入1i使集合成为11211,,...,ii，这个集合必然是线性无关的。否则，1i必能表为121,...,,i和1的线性叠加，而1又能表为i,...,,21线性叠加的，这就等于说1i与i,...,,21线性相关，与是完全集相矛盾。根据同样理由，在集合中进一步加入32,ii…，一直加到n，集合nii,...,,,...,11211，仍将是线性无关的。（1.4）这个集合必然是完全的。因为空间中任意矢量既然可以表为},...,...,{1ni的线性叠加，而i又能表为111,...i，的叠加。这矢量就一定能表为集合（1.4）式的线性叠加。至此我们证明了在完全集中加入一个1，必能顶掉某一个而仍保持为完全集。而且只能顶掉一个，不能再多。现在我们在这个完全集（1.4）式中加入一个2又顶掉某一个。如果少多，即nm，则把全部用完后，仍有未被顶掉。这就是说，要加上一些才是完全集，与是完全集相矛盾。所以nm是不可能的。nii,...,,,...,11211，（1.4）如果多少，即nm，那么把全部顶掉后，还有一些没有用到，这就是说，中的一部分就是完全集，也与是完全集相矛盾。所以nm也是不可能的。于是我们证明了只有一个可能，即m=n.因此，每一个有限维矢量空间中各种不同完全集所含矢量的数目是相同的，这个数目称为矢量空间的维数。2、基矢正交归一的完全集称为这个空间的一个基矢组，或一组基矢。当然一个空间可有不同的多组基矢。n维空间的一组基矢},...,,{21n的正交归一性质可以写为ijji,，i,j=1,2,…,nSchmidt正交化方法：一个矢量空间，只要知道它的一个完全集总可以找到一组基矢。设n维空间有一组不满足正交归一条件的完全集n,...,,21，现在由此去求这个空间的一组基矢},...,,{21n。(1)首先取1为归一化的1：111（1.5）（2）取1212'2a，选择常数12a使'2