高等数学-向量代数与空间解析几何复习

1第五章向量代数与空间解析几何5.1向量既有大小又有方向的量表示：AB或a（几何表示）向量的大小称为向量的模，记作||AB、|a|、||a1．方向余弦：||,||,||)cos,cos,(cosrrrzyxr＝（x，y，z）,|r|=222zyx2．单位向量)cos,cos,(cosa模为1的向量。3．模aazyxa222||4．向量加法（减法）),,(212121zzyyxxba5．a·b＝|a|·|b|cos212121zzyyxxa⊥ba·b＝0（a·b＝b·a）6．叉积、外积|ab|=|a||b|sin=zyxzyxbbbaaakjia//bab＝0.(ab=-ba)212121zzyyxx7．数乘：),,(kzkykxkaak例11||,2||ba，a与b夹角为3，求||ba。解22||cos||||2||2)()(||bbaabbbaaabababa713cos12222例2设2)(cba，求)()]()[(accbba。解根据向量的运算法则)()]()[(accbba2)(])()[(accbabba)(])[()(])[(accbaacbbaacbaacba])[()()(acbacacba)()()(cbacba)()(4)(2cba例3设向量kjia，kjib543，bax，为实数，试证：当模x最小时，向量x必须垂直于向量b。解由kjia，kjib543得50||,3||22ba，12ba，于是bababax2||||)(||22222253256505024322由此可知，当256时，模||x最小，因而255,251,257256bax故0)5,4,3(255,251,257bx所以，当模x最小时，向量x必须垂直于向量b。8．向量的投影Prjab＝|b|cos为向量b在向量a上的投影。a·b＝|a|Prjab5.2空间平面与直线5.2.1空间平面点法式方程：与定点),,(0000zyxp连线和非零向量n＝（a，b，c）垂直的点的集合。0)()()(000zzcyybxxa。平面的一般方程：0DCzByAx，n＝（A，B，C）3截距式方程：1czbyax三点式方程0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx例1求过)0,0,0(O，)2,3,1(A，)1,1,2(B点的平面方程解（1）点法式n＝)7,5,1(112231kjiOBOA。则平面方程为0)0(7)0(5)0(zyx，即075zyx。解（2）设平面方程为0DCzByAx，代入)0,0,0(O得0D。代入)2,3,1(A，)1,1,2(B得02023CBACBA解之得ACAB7,5代入方程消去A，得方程为075zyx例2一平面通过点)3,2,1(，它在正x轴，正y轴上的截距相等，问此平面在三坐标面上截距为何值时，它与三个坐标平面围成的四面体的体积最小？并写出此平面方程。解依题意设所求平面的截距式方程为1czayax，由于点)3,2,1(在此平面上，故有1321caa，解之33aac。四面体之体积32133613aaaaaaV，232)3()3(321aaaaV，令0V得9,29ca。例3求过点)1,1,1(A，)2,2,2(B和)2,1,1(C三点的平面方程。解由三点式方程0320333111zyx故所求方程为0)1(6)1(9)1(3zyx，即023zyx45.2.2空间直线方向向量：平行于一已知直线的任一向量称为直线的方向向量。易知直线上的任一向量都平行于直线的方向向量.若设已知向量为),,(nmlv，则直线的对称式方程为nzzmyylxx000一般式方程：0022221111DzCyBxADzCyBxA参数式方程：.,,000ptzzntyymtxx例1求过点)2,1,1(点，且与直线5213xzxy平行的直线方程解将直线写成5213xzxyxx，以x为参数，则)2,3,1(v，故直线方程为223111zyx例2求过点)3,2,1(0p且平行于平面01326:zyx，又与直线532131zyx相交的直线方程。解设Q),,(zyx为两直线的交点，则0,//00nQPQP,即0)3(3)2(2)1(6zyx，（1）又Q在L上：532131zyx（2）令（2）=t解得x,y,z代入(1)解得0t，在反代入（2）得Q的坐标为)3,1,1(，得直线为633221zyx5.3点、平面、直线的位置关系1．点到平面的距离点),(0000zyxP到平面Ax+By+Cz+D=0得距离公式为：5d=222000||CBADCzByAx例1求平面0622zyx和平面0884zyx的交角平分面方程。平分面上的点到两面之间距离相等，故22222814|884|221|622|zyxzyx整理得：026147xyx或010257zyx例2求平行于平面9zyx且与球面4222zyx相切的平面方程。解由于所求平面与9zyx平行，故可设其为0:Dzyx。因为与球面4222zyx相切，所以球心)0,0,0(到的距离2111|000|222D，解之，32D，故所求平面方程为032zyx和032zyx2．点到直线的距离点1M到直线L的距离为||||10ssMMd例3求点)4,4,3(0M到直线122524zyx的距离。解)2,9,1(0MM，31)2(2||222s，于是所求距离253161153|2055|||||0kjissMMd3.两平面之间的夹角平面1和平面2的夹角,cos＝222222212121212121||CBACBACCBBAA1、2互相垂直相当于212121CCBBAA＝0；1、2互相平行或重合相当于212121CCBBAA.4．两直线的夹角两直线的法线向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角.6直线1L和2L的夹角cos=222222212121212121||pnmpnmppnnmm(5)两直线1L、2L互相垂直相当于212121ppnnmm＝0；两直线1L、2L互相平行或重合相当于.212121ppnnmm5.直线与平面的夹角直线s=(m，n，p)，平面n＝（A，B，C）夹角为sin＝222222||pnmCBACpMnAm直线垂直于平相当于pCnBmA；直线平行于或直线在平面上相当于Am+Bn+Cp=0.6．平面束过直线L)12(0)11(,022221111DzCyBxADzCyBxA的平面束方程为0)(22221111DzCyBxADzCyBxA例1求直线21132:zyxxl在平面08332:zyx上的投影直线的方程。解直线l的方程即为0132043zxyx，故过l的平面束方程为0)132(43zxyx即0433)21(zyx因为此平面与平面垂直，故有0511)3,3,2()3,3,21(解得511，于是与08332zyx垂直的平面方程为045115333)5221(zyx即031159zyx，从而所求投影直线方程为08332031159zyxzyx75.4其它（旋转曲面方程）0),(xzyf绕谁转谁不变，令一个用另两个变量的平方和的平方根代入故绕z轴旋转，22yxy，得0),(22zyxf为旋转曲面方程。例1012222yczax绕x轴转得122222czyax，绕z轴转得122222czayx。例2曲线)(),(),(tzztyytxx绕z轴旋转，求旋转曲面方程。解绕z轴旋转时，)()(020222tytxyx，)(0tzz，)(10ztt，代入上式得))(())((121222ztyztxyx例3求623zyx绕z轴旋转所得旋转曲面方程。解承上题：)()(020222tytxyx，令tzyx623，tx3，ty2，tz6则22222361361313zztyx例4求直线11111:zyxl在平面012:zyx上的投影直线0l的方程，并求0l绕y轴旋转一周所成曲面的方程。解将直线l改写为0101zyyx，所以经过l的平面方程可设为0)1(zyzyx，即0)1()1(zyx。由于它与平面垂直，故有02)1(1，解得2。于是经过l且垂直于的平面方程为0123zyx。从而0l的方程为0123012zyxzyx化为参数方程为)1(212yzyyyx8于是0l绕y轴旋转一周生成的曲面方程为2222)1(414yyzx即0124174222yzyx。