搜索
一元一次不等式（组）本章内容第4章不等式的基本性质本课内容本节内容4.2复习回顾•等式的性质1:等式两边同时加(或减)同一个数（或式子），结果仍相等.•等式的性质2:等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.•那么不等式是否有和等式类似的性质呢？动脑筋动脑筋数学小实验操作：在“□”内按要求填上数字，在“”上填上“”、“”或“=”号；观察：不等号的前后变化规律不等式两边加上同一个数两边减去同一个数535＋□3＋□5－□3－□5＋□3＋□5－□3－□5＋□3＋□5－□3－□-13-1＋□3＋□-1－□3－□-1＋□3＋□-1－□3－□-1＋□3＋□-1－□3－□自主设计结论4400-2-24400-24400-2-24400-2-2-2-5--2+3-5+3-2-4-5-4发现:当不等式两边加或减去同一个数(正数或负数)时，不等号的方向不变.探究-2结论一般地，不等式具有如下性质：不等式基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式)，不等号的方向不变．即，如果ab，那么a+cb+c，a-cb-c．例1．用“＞”或“＜”填空：(１)已知ab，则a+3____b+3；(２)已知ab，则a-5_____b-5．解：(１)因为ab，两边都加上3，由不等式基本性质1，得a+3b+3．(２)因为ab，两边都减去5，由不等式基本性质1，得a-5b-5．解：(１)不等式的两边都减去6，由不等式基本性质1，得x+6-65-6，即x-1．例2．把下列不等式化为xa或xa的形式：(１)x+65；(２)3x2x-2．由(２)可以看出，运用不等式基本性质1对3x2x-2进行化简的过程，就是对不等式3x2x-2作了如下变形：3x2x-2=3x-2x-2．从变形前后的两个不等式可以看出，这种变形就是把不等式一边的某一项变号后移到另一边，我们把这种变形称为移项．(２)不等式的两边都减去2x，由不等式基本性质1，得3x-2x2x-2-2x，即x-2．做一做我们知道三角形任意两边之和大于第三边，即如图4-2所示，在△ABC中，有AB+BCAC，BC+ACAB，AC+ABBC．那么，三角形中两边之差与第三边又有怎样的关系呢？图4-2解：根据不等式基本性质1，我们可以把不等式AB+BCAC中的BC移到右边，于是得到ABAC-BC，即AC-BCAB．同理，AB-ACBC，BC-ABAC．由此可得，三角形任意两边之差小于第三边．不等式两边乘以同一个数两边除以同一个数626×□2×□6÷□2÷□6×□2×□6÷□2÷□6×□2×□6÷□2÷□6×□2×□6÷□2÷□-23-2×□3×□-2÷□3÷□-2×□3×□-2÷□3÷□-2×□3×□-2÷□3÷□-2×□3×□-2÷□3÷□自主设计结论22440-40-4224400-4-422440(无意义)-40-422440(无意义)-40-4==-2-6-2×2-6×2-2÷2-6÷2-2-6-2×(-2)-6×(-2)-2÷(-2)-6÷(-2)发现:当不等式的两边同乘或同除以同一个正数时，不等号的方向不变.数学小实验探究结论一般地，不等式还有如下性质：不等式基本性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．即，如果ab，c0，那么acbc，ａcbc．不等式的基本性质与等式的基本性质有什么相同点和不同点？不等式基本性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．即，如果ab，c0，那么acbc，ａcbc．不等式的性质等式的性质说一说性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.性质1：等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等.性质2：等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.例3．用“＞”或“＜”填空：(１)已知ab，则3a____3b；(２)已知ａb，则-a____-b；（3）已知ab，则-ａ3+2____-ｂ3+2．解：(1)因为ab，两边都乘３，由不等式基本性质2，得3a3b．(2)因为ab，两边都乘-1，由不等式基本性质3，得-a-b．(3)因为ab，两边都除以-3，由不等式基本性质3，得-ａ3-ｂ3，因为-ａ3-ｂ3，两边都加上2，由不等式基本性质1，得-ａ3+2-ｂ3+2．小知识不等式的分类：①严格不等式：用“”或“”连接的不等式称为严格不等式．②广义不等式：用“≥”或“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式．③绝对不等式：不等式中对于字母所能取的一切允许值不等式都成立，这样的不等式叫绝对不等式．④矛盾不等式：不等式中，对于字母所能取的一切允许值不等式都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式．⑤条件不等式：不等式中对于字母所能取的某些允许值不等式能成立面对字母所能取的另外一些允许值不等式不能成立，这样的不等式叫条件不等式．……小知识不等式的其它基本性质：①对称性：如果xy，那么yx；如果yx，那么xy．②传递性：如果xy，yz；那么xz．③加法单调性：即同向不等式可加性．④同向正值不等式可乘性：如果xy0，mn0，那么xmyn．⑤正值不等式可乘方：如果xy0，那么xnyn．……1．已知a＜b，用“＞”或“＜”填空：(1)a+2______b+2；(2)a-3_______b-3；(3)-2a______-2b；复习题组A解：(1)根据不等式的性质1，不等式的两边都加上2，得a+2b+2；(2)根据不等式的性质1，不等式的两边都减去3，得a-3b-3；(3)根据不等式的性质3，不等式的两边都乘以-2，得-2a-2b.2．若xy0，则(1)-x_____-y；(2)|x|_____|y|．解：(1)在不等式的两边乘以-1，得-x-y；(2)∵xy0，∴|x|=-x，|y|=-y．∵-x-y，∴|x||y|．3．已知xy，要得到-ax-ay，那么a应满足的条件是__________．解：∵-a0，∴a0．4．有理数a，b在数轴上的对应点分别在原点两侧，且a比b距离原点远，则式子(a+b)(a-b)__________0．解：∵有理数a，b在数轴上的对应点分别在原点两侧，且a比b距离原点远，∴|a||b|，∴原式=a2-b20．组B解：①若c=0，则ac2=bc2，所以错；②若c0，则ab，所以错；③若c=d=0，则ac=bd，所以错；④若ac2bc2，则c不为0，所以ab．故选④．5．下列结论：①若ab，则ac2bc2；②若acbc，则ab；③若ab，且c=d，则acbd；④若ac2bc2，则ab．其中正确的有__________(填序号)．小结与复习本节课我们都学习了那些知识？1.不等式的三个基本性质；2.等式与不等式的基本性质对比.不等式的基本性质需要注意哪些方面？不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号要改变方向.不等式的基本性质有什么作用？运用不等式的基本性质可以比较代数式的大小关系.小结与复习①不等式两边不能同乘0，否则不等式就变成了等式0=0；也不能同除以0，因为没有意义；②在利用不等式的基本性质进行变形时，当不等式的两边都乘以(或除以)同一个字母，字母代表什么数是问题的关键，这决定了是用不等式基本性质2还是基本性质3，也就是不等号是否要改变方向的问题；③运用不等式基本性质3时，要变两个号，一个性质符号，另一个是不等号．1．用“”或“”填空：（1）由ab，可得a-13____b-13；（2）由ab，可得-2+a____-2+b；（3）由ab，可得a+m____b+m；（4）由mn，可得2m____m+n．2．把下列不等式化为xa或xa的形式：（1）x+15;（2）7x6x+3．x4x3习题4.2组A3．已知ab，用“”或“”填空：（1）5a____5b；（2）-3-a____-3-b；（3）-14a____-14b；（4）如果c0，那么ac____bc．4．把下列不等式化为xa或xa的形式：（1）2x+53；（2）6x-70；（3）-2x+24；（4）-14x+412．x76x-1x14习题4.2x-15．（1）由ab得到ac2bc2的条件是c____0；（2）由4a3a，可a____0．≠6．用””、””或”=”填空：（1）当b0时，a+b____a；（2）当b=0时，a+b____a；（3）当b0时，a+b____a．=7．一根25cm长的蜡烛，假设点燃后每小时烧去5cm，燃烧xh后，长度已不足15cm。请你根据上面的描述列出一个不等式，并将所列不等式化为xa或xa的形式。解：由题意得，25-5x15；解得x2．习题4.2组B结束