《电路原理》第五版习题解答-邱关源-罗先觉(第六章)

第六章一阶电路(First-OrderCircuits)一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应求解本章重点动态电路方程的建立及初始条件的确定动态电路的方程和初始条件一阶电路的零输入响应一阶电路的零状态响应一阶电路的全响应一阶电路的阶跃响应一阶电路的冲激响应主要内容一、动态电路的方程和初始条件1．动态电路(dynamiccircuits)定义：含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。特点：当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。内因：电路中含储能元件L，C；产生原因：外因：电路换路，即开关通断、电源变化、元件参数变化等。K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uC=0i=0,uC=UsK+–uCUsRCi(t=0)K接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态+–uCUsRCi(t→)前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1USuct0?iRUS有一过渡期电容电路K未动作前，电路处于稳定状态i=0,uL=0uL=0,i=Us/RK接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路前一个稳定状态过渡状态新的稳定状态t1US/Rit0?ULSU有一过渡期电感电路K+–uLUsRLi(t=0)+–uLUsRLi(t→)t12．动态电路的方程+–uCus（t）RCi(t0)应用KVL和电容的VCR得：)(tuuRiSctdduCic)(tuutdduRCScc若以电流为变量：)(1tuidtCRiSdttduCitddiRS)(应用KVL和电感的VCR得：若以电感电压为变量：)(tuuRiSL)(tutddiLRiStddiLuL)(tuudtuLRSLLdttdudtduuLRSLL)(有源电阻电路一个动态元件一阶电路+–uLus（t）RLi(t0)二阶电路)(tuuuRiScLtdduCictddiLuL)(22tuutdduRCdtudLCSccc描述动态电路的电路方程为微分方程；结论：动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数.C+–uLuS（t）RLi(t0)uC＋－＋－一阶电路:一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。动态电路的分类：二阶电路:二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。0)(01ttexadtdxa0)(01222ttexadtdxadtxda高阶电路:电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。0)(01111ttexadtdxadtxdadtxdannnnnn换路时电容上的电压，电感上的电流不能跃变．3．换路定律由于物体所具有的能量不能跃变，因此，在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变．即221LLLiWuC，iL不能跃变．,212CCCuWt=0:表示换路时刻(计时起点)；t=0-:表示换路前的终了瞬间；t=0+:表示换路后的初始瞬间．换路定律：)(0u)(0uCC)0()0(LLii4.初始条件(initialcondition)概念：初始条件：变量及其各阶导数在t=0+时的值独立变量：变量及其初始值不能用其它变量和初始值求出．如，uC和iL非独立变量：变量及其初始值可以用独立变量和初始值求出．指电路中除uC和iL的其他变量．先由t=0-的电路求出uC(0–)、iL(0–)；根据换路定律，求出独立变量初始值uC(0+)和iL(0+)；将电容用电压源代替，其值为uC(0+)，将电感用电流源代替，其值为iL(0+)，画出0+时刻等效电路图;根据0+时刻等效电路图，用线性稳态电路的分析方法求出所需要的非独立变量初始值．确定初始值的方法：t=0时将开关K闭合，t0时电路已达稳态，试求各元件电流、电压初始值．uCu2USR1CR2KiCi1u110V10μF3KΩ2KΩi2t0时电路已达稳态，电容相当于开路．V100SUuCV1000CCuu例1解t=0+的等效电路如下图(b)所示．uCu2USR1CR2KiCi1u110V10μF3KΩ2KΩi20)0()0(S1CuUu0+时刻等效电路USi1(0+)10V3KΩ2KΩi2(0+)u1(0+)iC(0+)uC(0+)u2(0+)0/)0()0(111RuiV10)0()0(2CuumA5/)0()0(222Rui0)0(0)0(0)0(0)0(0)0(:2211Ciiuiu注mA5)0()0()0(21iiiCV100Cut=0时闭合开关，试求开关转换前和转换后瞬间的电感电流和电感电压。开关闭合前电路稳态，电感相当于短路．2AR1=1ΩR2=1ΩKLiLi1A1)0()0(A1)0()0(1LLLiiii例2解t=0时闭合开关，0+时刻等效电路如下图(b)所示．2AR1=1ΩR2=1ΩKLiLi10+时刻等效电路2AR1R2i1iL(0+)uL(0+)A1)0()0(2LLiRu所以:00：)(uL注二、一阶电路的零输入响应定义：电路的输入为零，响应是由储能元件所储存的能量产生的，这种响应称为零输入响应(source-freeresponse)主要内容：RC电路的零输入响应RL电路的零输入响应．RC电路的零输入响应图(a)中的开关原来连接在1端，电压源U0通过电阻Ro对电容充电，假设在开关转换以前，电容电压已经达到U0。在t=0时开关迅速由1端转换到2端。已经充电的电容脱离电压源而与电阻R并联，如图(b)所示。uCU0RKCR012uCuRRCiR由换路定理得：0)0()0(CRuu电阻的电流为：RUiR0)0(uCuRRCiR0CCUuu)(0)(0dtduRCRiuCRR由KCL和VCR得：由KVL得：)0(0ddtutuRCCC这是一个常系数线性一阶齐次微分方程。其通解为:由式:01RCp其解为:RCp1－称为特征根(电路的固有频率)。0ddCCutuRC得到特征方程:ptCAtue)(于是电容电压变为:A是待定常数，由初始条件确定。AAuRCtCe)0(根据初始条件:0)0()0(UuuCC求得:0)(tee)(RCtptCAAtu当t=0+时上式变为:0UA0)(tee)(00RCtptCUUtuCuCiRitOuCuRRCiRe)()(-0RCtCRRUtitiRCtCRUtuCti-0Cedd)(电流方面：电路的零输入响应曲线)(0RCtCeUtu令=RC，具有时间的量纲，称它为RC电路的时间常数，的大小反映了电路过渡过程时间的长短。总结：电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；U0tuc0小大大→过渡过程时间长小→过渡过程时间短的物理意义电压初值一定：R大（C一定）i=u/R放电电流小放电时间长C大（R一定）W=Cu2/2储能大当时t010%8.36eUUuCtUtuCe)(0时间常数等于电压Uc衰减到初始值U0的36.8%所需的时间。I0tuc0t1t2动态过程时间(暂态时间)的确定理论上认为、电路达稳态.0Cut0Cu工程上认为~、电容放电基本结束。)53(ttCu0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U234651e2e3e4e5e6etete随时间而衰减能量关系电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.设uC(0+)=U0电容放出能量：电阻吸收（消耗）能量：uCR+－C2021CURdtiWR02RdteRURCt200)(dteRURCt20200220|)2(RCteRCRU2021CU在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到已知电容电压uC(0-)=6V。t=0闭合开关，求t0的电容电压和电容电流。)0()0(CCuuV6例1解将连接于电容两端的电阻网络等效于一个电阻，其电阻值为kΩ10kΩ)36368(oR得到图(b)所示电路，CR0s05.01051051010263其时间常数为由0)()e(0)(tututCCmAe2.0mAe6.031)(633)(2020CttRtitituCtiCdd)(C0)(Ve6)(20ttutC得到)0(mAe6.0mAe1010620203ttttRU0eRL电路的零输入响应电感电流原来等于电流I0，电感中储存一定的磁场能量，在t=0时开关由1端倒向2端，换路后的电路如图(b)所示。电路如下图I0KRLiL12iRuLRLiLiR(a)(b)换路后，由KVL得0LLuRi代入电感VCR方程tiLuLLdd得到以下一阶线性齐次微分方程d0dLLiLiRtuLRLiLiRuR)t(K)t(itLRL0e这个微分方程其通解为代入初始条件iL(0+)=I0求得)0(0LiIKtLLiti-)e(0)()0(edd)(-0LtRItiLtutLRL令，则电感电流和电感电压的表达式为RL)0(e-0tItRL放电电路的波形0tuL23-RIS0tiL23I0电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；响应与初始状态成线性关系，衰减快慢与τ有关；大→过渡过程时间长小→过渡过程时间短能量关系：RdtiWR02电感不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.电感放出能量：2012LWLI电阻吸收（消耗）能量：RdteIRLt2/00)(2021LIdteRIRLt/20200220|)2/(RCteRLRIiL+–uLRuLiL①②24V4Ω2Ω3Ω6Ω4Ω6HKi1电路如图所示，K合于①已很久，t=0时K由①合向②，求换路后的).t(u)t(u),t(iLL12和换路前电路已稳定，由换路定律可得：A263622424)0()0(LLii例1解从L两端视入的等效电阻为换路后电路为零输入响应．66)42(6)42(30R时间常数为：s1660RLi1LΩuLi2Ω3Ω6Ω46HiL+–uLRo零输入响应为：0)(A2)0()(teeitittLL0)(V12dd)(tetiLtutLL0)(A)(21)(1tetititL121()244()244V(0)tutitet小结一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。衰减快慢取决于时间常数RC电路：=RC,RL电路：=L/RR为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。teyty)0()(iL(0+)=iL(0－)uC(0+)=uC(0－)RC电路RL电路SCCUutuRCdd列方程：iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0－)=0非齐次线性常微分方程解答形式为：'cccuuu齐次方程通解非齐次方程特解零状态响应：电路的初始状态为零，由外加激励引起的响应，称为零状态响应(zero-stateresponse)。三、一阶电路的零状态响应RC电路的零状态响应与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解RCtCAeu变化规律由电路参数和结构决定全解uC(0+)=A+US=0A=－US由初始条件uC(0+)=0定积分常数A的通解0ddCCutuRCSCUuRCtSCCCAeUuutu)(通解（自由分量，暂态分量）Cu特解（强制分量，稳态分量）CuSCCUutuRCdd的特解)0()1(teUeU