高等量子力学-第二章-算符

§2算符§2-1定义主要内容：§2-2算符的代数运算§2-3作用于左矢的算符§2-4厄米算符和幺正算符§2-5投影算符算符是矢量空间中又一重要概念。在这一节里，我们在右矢空间中引入算符，并从左右矢空间的对应关系去讨论算符及其性质。这些性质很容易回到单一空间的表示方法中去。§2-1定义规定一个具体的对应关系，用A来表示。使右矢空间中的某些右矢与其中一些右矢相对应，例如使与相对应，记为A这样的对应关系A称为算符。我们说算符A作用于右矢，得到右矢。在算符的定义中，被算符A作用的右矢全体，称为A的定义域；得出的右矢全体称为值域。二者可以不同，也可以部分或完全重合。通常算符的定义域与值域都是整个空间。一个算符A，其定义域是一个矢量空间，而又满足下列条件的，称为线性算符：aAaAAAA(2.1)满足下列二条件的，称为反线性算符：*aAaAAAA(2.2)其中a是任意常数。在量子力学中出现的算符，绝大多数都是线性算符，下面我们只讨论线性算符。算符对其定义域中每一个右矢作用，都应有确定的结果。定义一个具体的算符应当规定其定义域，并指出它对其定义域中每一个矢量作用的结果。而确定一个具体的线性算符，只须规定它对其定义域中的一组线性无关的右矢（例如一组基矢）中每个右矢的作用结果即可。线性算符的定义域，可以是整个右矢空间本身，也可以是它的一个子空间。可以证明，线性算符具有下列性质：（1）线性算符的值域也是右矢空间（大空间本身或其子空间）。（2）若定义域是有限维的空间，则值域空间的维数等于或小于定义域空间的维数。（3）在定义域中，那些受A的作用得到零矢量的右矢全体，也构成一个右矢空间（定义域的子空间）。复数对右矢的数乘，可以看成算符对右矢的作用，每一个复数都可以看成一个算符；其定义域和值域均为全空间：aa其中两个特殊的算符：1，对一切成立；前者称为零算符，后者称为单位算符。1，两个算符BA与的和BA及乘积BA的定义是：ABBABABABA的定义域是BA与两算符的定义域的共同部分（数学上称为交）；至于BA的定义域，若A的值域在B的定义域之内，则BA的定义域就是A的定义域，若A的值域只有一部分在B的定义域内，则BA的定义域要比A的定义域小。两个算符相等的定义是：BA与有相同的定义域并且对域内任意矢量有BA这时我们记作BA若两个算符BA和满足BAAB则说这两个算符是可对易的，或称为两个算符对易。BAABBA],[定义：(2.2)经常使用的几个对易关系：]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[FGGF]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[MFGFMGFMGFMFGMGFˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆˆ[GMFMGFMGF恒等式）JacobiBACACBCBA(0]]ˆ,ˆ[,ˆ[]]ˆ,ˆ[,ˆ[]]ˆ,ˆ[,ˆ[由上述定义可知，除交换律不一定成立外，算符之间服从一般的加、减、乘和幂次的代数运算法则：AAAABCACABACABCBA3等等。可以用算符和复数构成一个多项式作为算符的函数：nnAaAaAaaAF2210甚至可以构成无穷级数（我们不去仔细考察由此引起的数学问题），例如可以写aAnnneAanAaAaaA03322!131!211！(2.3)注意上式是算符的指数函数的定义式。在此定义下，关系式BABAeee而当0],[BA时是不成立的（参见本节§2-2）。逆算符设在一个右矢空间中，算符A把定义域中的一个右矢变为值域中的一个右矢：A(当[A,B]=0时成立)若算符A所建立的这个关系是一一对应的，即对应值域中的每一个，在定义域中有且只有一个，则由到的逆对应关系存在，这种关系称为A的逆算符，用1A表示：1A逆算符1A满足111AAAA逆算符1A的定义域和值域分别是A的值域和定义域。逆算符相当于算符的除法，有时也写成AA11不是所有的算符都有逆。一个算符A有逆的条件如下：（1）在A中对于每一个,总有存在；（2）若21AA，则必有21。这两条须同时满足，对于每一个，条件(1)要求有，条件(2)要求只有一个。定理设A是一个定义域和值域都在全空间的线性算符，若有另外两个线性算符B和C存在，满足AB=1,CA=1(2.4)则算符A有逆，而且CBA1证明:我们证明这样的A满足有逆条件(1)和(2)。条件（1）：在值域中取一任意，证明在定义域有存在：BAAB1可见对于任意，确有存在，这个就是B。条件（2）：若21AA，用C作用在此式两边：21CACA但此式就是21，条件(2)也得到满足，因此1A存在。1A既然存在，将AB=1用1A左乘，得BA1将11ACA用右乘得CA1定理证毕。在A的定义域为无穷维空间的情况，此定理指出：当(2.4)式中CB和都存在时，才能说1A有存在，CB和中只有一个是不够的。但当A的定义域为有限维时，可以证明B与C二者中存在一个，即可断定算符A有逆。§2-2算符的代数运算在量子力学中，经常出现不可对易线性算符的代数运算，在这一小节里，我们举几个较复杂的运算例子；并且用代数方法证明两个常用的算符等式（2.9）和（2.14）两式。设A和B为两个线性算符，互不对易。首先我们定义多重对易式],[],[iiABBA和：AABABBAABAABABBABABABBBA,,,,,,,,,,,,221100（2.5）………………..………………….显然，对于],[BAi型的多重对易式有）（，，，）（，，，）（）（）（）（）（7.2][][][6.2][]][[11BAABABAABABAAiiiii例1：证明：niniiniininABAiinnABAinBA00,!!!,（2.8）上式右端可把取和上限推至无穷，由于0!mm当时定义为，i的上限实际上仍是n。证明：用数学归纳法证明，当n=1时上式为],[BABAAB原式成立。下面我们从原式出发，推出用n+1代替n的同样形式的式子。将原式从左方用A作用，得inininABAAinBA][01，）（AABABBAABAABABBABABABBBA,,,,,,,,,,,,221100niniiniininABAiinnABAinBA00,!!!,inininABAAinBA][01，）（nininiiniiniininABAiinnABAiinnABAinBA000111,!!!,!!!,][][][1BAABABAAiii，，，）（）（）（在上式右边第二个取和式中，取j=i+1，得111,!1!1!njinjABAjjnnjn)1(将此式的求和傀标j再改成i，即可与第一和式相加，于是得1011,!!1!1niininABAiinnBA这是与原式完全相同的形式，只是原来的n成为n+1，这说明原式若对n成立，对n+1亦成立。由于我们已经证明原式对n=1成立，因此，原式对任何整数n都成立。证毕。niniiniininABAiinnABAinBA00,!!!,例2：证明：0,!1iiAABAiBee（2.9）这是量子力学中常用的一个公式，是一个真正的无穷级数。证明：利用(2.8)式，有AnnAAeBAnBee]!1[0000000,!1!1,!1,!!!!1!1iiAininiAniiniAnAAABAieAinBAieABAiinnneBAnBee000000,!1!1,!1,!!!!1!1iiAininiAniiniAnAAABAieAinBAieABAiinnneBAnBee(2.9)式这一类算符等式，还有一种证明方法是引入一个实变量，构造一个含和一些算符的式子，把它看成的函数)(F而对它进行求导或积分，最后在所得等式中令=1。为证明（2.9）式可取AABeeFAAAAAAeBAAedFdeBAeeBAABeddF,,,22AAeBAe],[这时AAAAAAeBAAedFdeBAeeBAABeddF,,,22将)(F作Taylar展开：000,!1!1iiiiiiiAABAidFdiFBee取=1，即得到（2.9）式。AAeBAe],[)2(0,!1iiAABAiBeeABABAABAA],[],[]],[,[例5：证明Glauber公式：2/CBABAeeee（2.14）式中BACBA或与,都对易，即0,,BCAC证明：令)()(BABAeeef)()()()()(BABABABAeBAeeeBeeAfddf)()(BABAAeeeAf)()(BABBBAeeAeeeAf0)(0)(],[!1],)[(!1)(iiiiiBBABiABiAeeA0,!1iiAABAiBee0]],[,[],[)2(ABBAB],[],[)2(2ABABA0)(0)(],[!1],)[(!1)(iiiiiBBABiABiAeeA)()()(BABBBAeeAeeeAfddf)(]),[()(BABAeeABAeAf)()(],[)(BABABABAeeABeeAeeAf)(],[],[)()()(fBAeeeABeeAeAfBABABABA)()(BABAeeefCBAfln],[21)(ln2],[212)(BACef,1)0(fC],[ABA],[212)(BAef)()(BABAeeef],[212)(BAef],[21)(2BABABAeeee令1CBABABABABABAeeeeee21)(],[21)(],[21)(§2-3作用于左矢的算符我们在右矢空间中定义了算符A：A在右矢空间中每一个算符A，都对应着左矢空间中的某一个算符，这个左矢空间中与A对应的算符，我们记做A，称为A的伴算符：AAAA（2.17）注意我们对左矢采用相反的写法，即算符向左作用于左矢。右矢空间左矢空间*aaABABBABA*aa