微分方程稳定性理论简介

微分方程稳定性理论简介1、一阶自治方程()()xtfx（１）使代数方程()0fx的实根x0x称为（1）的平衡点或奇点。0xx也是方程（1）的解。设x(t)是方程的解，若从0x的某邻域的任一初值出发都有0lim()txtx，则称0x是方程(1)的稳定平衡点（渐近稳定）；否则，称0x是方程(1)的不稳定平衡点。例dxxdt判断平衡点稳定性的方法（1）间接法：利用定义，需要求出方程的解（2）直接法：不求方程的解方程（１）的近似方程为：))(()(00xxxftx（２）对于一阶方程（１）与（２）的平衡点0x的稳定性有如下结论：若0()0fx，则0x是（１）与（２）的稳定平衡点若0()0fx，则0x是（１）与（２）的不稳定平衡点2、二阶方程可用两个一阶方程表示为()(,)()(,)xtfxyytgxy（３）二维（平面）自治系统使(,)0(,)0fxygxy的实根000(,)Pxy称为（３）的平衡点。同样，若存在000(,)Pxy的某个邻域的任一初值))0(),0((yx出发，当t时00((),())(,)xtytxy，则称000(,)Pxy是稳定的平衡点。应用直接法讨论（３）的稳定性，先看线性常系数方程()()xtaxbyytcxdy（４）二维（平面）线性自治系统系数矩阵记做abAcd，设det0A，此时（４）有唯一平衡点0(0,0)P。它的稳定性由（４）的特征方程det()0AI的根所决定。2det()()0abAIadadbccd结论：0-（S稳定）同号结点相异+（U）异号鞍点(U)实根-(S)临界结点+(U)重根-(S)退化结点+(U)-(S)实部不为0焦点复根+(U)实部为中心（U）进一步，令()pad,detqadbcA，则特征方程为20pq，特征根为21,21(4)2ppq1)240pqi)0q0结点（S）p0结点（U）pii)0鞍点（U）q2)240pq0临界（退化）结点（S）p0临界（退化）结点（U）p3)240pq0焦点（S）p0焦点（U）p0中心（U）p根据特征方程的系数,pq判断平衡点的稳定性准则：若0,0pq则平衡点稳定；若00或pq则平衡点不稳定。对于一般的非线性方程（３），可以用线性近似方法判断平衡点000(,)Pxy的稳定性。在0P点将(,)fxy和(,)gxy做Taylor展开，只取一次项，得（３）的近似线性方程000000000000()(,)()(,)()()(,)()(,)()xyxyxtfxyxxfxyyyytgxyxxgxyyyì=-+-ïïïíï=-+-ïïî&&（５）令0Xxx，0Yyy则上式可化为00000000()(,)(,)()(,)(,)xyxyXtfxyXfxyYYtgxyXgxyYìï=+ïïíï=+ïïî&&（６）系数矩阵记作000(,)xyxyPxyffAgg特征方程的系数为0()xyPpfg，detqA0P点对于方程（５）的稳定性可由上面的准则决定。若方程（５）的特征根不为零或实部部不为零，则0P点对于方程（３）的稳定性与对于近似方程（５）的稳定性相同。