搜索
第3课时角平分线的性质第五章生活中的轴对称5.3简单的轴对称图形1课堂讲解角平分线的画法角平分线的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升如图5-16，将∠AOB对折，你发现了什么?角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗?角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.总结1知识点角平分线的画法知1－讲（来自《教材》）例1利用尺规，作∠AOB的平分线(如图).已知：∠AOB.求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC.知1－讲（来自《教材》）作法：1.在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE.2.分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.3.作射线OC.OC就是∠AOB的平分线(如图).12知1－讲例2某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图(点M，N表示大学，AO，BO表示公路)．现计划在∠AOB内修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．(1)你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案；(2)阐述你的设计理由．（来自《点拨》）知1－讲（来自《点拨》）到M，N两点的距离相等的点在线段MN的垂直平分线上，到OA，OB距离相等的点在∠AOB的平分线上．(1)仓库应该建在MN的垂直平分线和∠AOB的平分线的交点P处．如图.(2)MN的垂直平分线l上的点到M，N两点的距离相等，∠AOB的平分线OC上的点到OA，OB的距离相等．P为l和OC的交点，因此P点即为所求．解：导引：1知1－练先任意画一个角，然后将它四等分.（来自《教材》）如图．点拨：画出已知角∠AOB.①作∠AOB的平分线OC.②分别作∠BOC和∠AOC的平分线OD，OE.OC，OD，OE即将∠AOB四等分．解：2知1－练用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是()A．SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边的距离相等（来自《典中点》）A3知1－练作∠AOB的平分线时，以O为圆心，某一长度为半径作弧，与OA，OB分别相交于C，D，然后分别以C，D为圆心，适当的长度为半径作弧，使两弧相交于一点，则这个适当的长度为()A．大于CDB．等于CDC．小于CDD．以上都不对（来自《典中点》）121212A4知1－练【2017·枣庄】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是()A．15B．30C．45D．60（来自《典中点》）12D2知识点角平分线的性质知2－导做一做(1)在一张纸上任意画∠AOB，沿角的两边将角剪下，将这个角对折，使角的两边重合，折痕就是∠AOB的平分线.(2)在∠AOB的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C且与∠AOB的两边垂直的直线，垂足分别为D，E，将∠AOB再次对折，线段CD与CE能重合吗？改变点C的位置，线段CD和CE还相等吗?（来自《教材》）知2－讲（来自《点拨》）1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．2.角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．知2－讲（来自《点拨》）例3如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若BC＝5cm，BD＝3cm，则点D到AB的距离为_____．点D到AB的距离就是过点D作AB的垂线段的长度．过D作DE⊥AB于E.因为∠C＝90°，AD平分∠BAC，所以ED＝CD＝BC－BD＝5－3＝2(cm)．导引：2cm求角平分线上的点到角两边的距离时，应用角平分线的性质将未知线段向已知线段转化．总结知2－讲（来自《点拨》）知2－讲（来自《点拨》）例4如图，BD是∠ABC的平分线，BA＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N，试说明：PM＝PN.要说明PM＝PN，由PM⊥AD，PN⊥CD，可说明PMD≌△PND或者DP平分∠ADC.题目已知BD平分∠ABC，所以用第二种方法更简单些．导引：知2－讲（来自《点拨》）因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠CBD.因为BA＝BC，BD＝BD，所以△ABD≌△CBD(SAS)，所以∠ADB＝∠CDB.又因为PM⊥AD，PN⊥CD，所以PM＝PN.解：用角平分线的性质说明两条线段相等，就不用再说明两条线段所在的三角形全等．性质的具体运用是：一平分两垂直得相等．总结知2－讲（来自《点拨》）1知2－练【2016·怀化】如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是()A．PC＝PDB．∠CPO＝∠DOPC．∠CPO＝∠DPOD．OC＝OD（来自《典中点》）B2知2－练如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是()A．PA＝PBB．PO平分∠APBC．OA＝OBD．AB垂直平分OP（来自《典中点》）D3知2－练【2017·台州】如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是()A．2B．3C.D．4（来自《典中点》）3A4知2－练如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是()A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm（来自《典中点》）A5知2－练【2016·湖州】如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是()A．8B．6C．4D．2（来自《典中点》）C角的平分线图形结构中的“两种数量关系”：如图，OC平分∠AOB，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，DE交OC于点F.(1)角的相等关系：①∠AOC＝∠BOC＝∠PDF＝∠PEF；②∠ODP＝∠OEP＝∠DFO＝∠EFO＝∠DFP＝∠EFP＝90°；③∠DPO＝∠EPO＝∠ODF＝∠OEF.(2)线段的相等关系：OD＝OE，DP＝EP，DF＝EF.1知识小结2易错小结如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，BC边上有一点E，连接DE，则AD与DE的关系为()A．ADDEB．AD＝DEC．ADDED．不确定易错点：运用角的平分线的性质时，常因忽略“到角两边的距离”而导致错误D本题易出现错误的主要原因是误认为角平分线上的点与角两边上的任意一点连接的线段都相等，而忽略了“到角两边的距离”这一要求，即忽略DE与BC，AB与AD是否垂直，从而错选B.