第3章习题

第3章课后习题习题3.1：为了展开一幅图像的灰度，使其最低灰度为C，最高灰度为L-1，试给出一个单调的变换函数。,(),CifrCsTrrOthers第3章习题解答（3.5）习题3.5：通常，如果将低阶比特面的一半设置为零值，对一幅图像的直方图有何影响？如果将高阶比特面的一半设为零值，对直方图有何影响？第3章习题解答（3.5）第3章习题解答（3.5）答：一般来说，若将低阶比特平面设置为零，图像中具有不同灰阶值的像素数目将降低。而像素的总数目不变，因此最终直方图中各分量的幅值将增加。灰阶值的减少通常会导致对比度下降。若将高阶比特平面置零，将导致图像亮度和对比度的下降。并且因为丢失了大量的细节信息而造成图像质量的严重下降。例如，若将8bit图像的最高位丢掉，图像的最高亮度就由255变成127。同样，像素总数保持不变，最终直方图中某些分量的幅值将升高。直方图的整体形状就是高而窄，并且在大于127的灰度上没有直方图分量。第3章习题解答（3.5）习题3.6：试解释为什么离散直方图均衡化技术一般不会生成平坦的直方图？第3章习题解答（3.6）第3章习题解答（3.6）直方图均衡化变换:sk是输入图像中灰度级不超过k级的灰度发生概率，n是图像中像数的总数，nj是输入图像中j级灰度的像数个数。数字图像的灰度级范围为[0,L-1]。0,0,1,,1kjkjnskLn答：直方图均衡即在灰阶尺度上重新影射各直方图分量。为了获得均匀平坦的直方图，要求在各灰阶上都具有相同的像素数目。即，假设共有L个灰阶，总的像素数目为n，则每个直方图分量中都有n/L个像素。而直方图均衡并不能确保实现上述分布。第3章习题解答（3.6）习题3.9：假设取值是连续的，用一个例子说明，有可能存在这样的情况。即由(3.3.4)式给出的变换函数满足3.3.1节中的条件(a)和(b)，其反变换却不能满足单值条件。第3章习题解答（3.9）第3章习题解答（3.9）0(3.3).)((4)rrsTrPwdw01r0()1Tr在原始图像中，对于每一个象素值r产生一个灰度值s。假设变换函数T(r)满足以下条件:a）T(r)在区间[0,1]中为单值且单调递增。b）当时，。解：考虑如下的概率分布第3章习题解答（3.9）0()()rrsTrPwdw其变换函数的曲线为习题3.10：证明在灰度rk不为零的情况下（k=0,1,2,…,L-1），式(3.3.9)所表示的离散直方图反变换符合3.3.1节中的条件(a)和(b)。第3章习题解答（3.10）1(),0,1,2,...,1(3.3.9)kkrTskL证明：当所有的灰度阶rk（k=0,1,2,…,L-1）不为零的情况下，T(r)将是严格单调增的。这意味着反变换函数将具有一定的斜率，且是单值的。rk属于[0，1]。因此符合3.3.1节中的条件(a)和(b)。第3章习题解答（3.10）习题3.12：试提出一种适用于3.3.3节中讨论的局部增强技术的局部直方图更新方法。第3章习题解答（3.12）P84以前描述的直方图技术很容易修改成适用于局部增强的直方图方法。首先定义一个方形或矩形掩模，并在待增强的局部区域上将掩模中心从一个像素移至另一个像素。在每一个位置都要计算掩模所覆盖的点的直方图。掩模的中心然后被移至相邻像素并重复这个处理过程。当在局部区域进行逐像素平移时，由于掩模中只有新的一行或一列发生改变，所以可以在每一步平移中，以新数据更新前一个位置获得的直方图。第3章习题解答（3.12）解：假设在一个邻域中，与第k个灰阶值相对应的直方图分量值为：当邻域从左向右平移时，丢掉左边一列，而在右边引入新的一列。因此更新直方图可表示为：第3章习题解答（3.12）(),1,2,...,1krknprkKn11()[]()[]rkkLkRkrkRkLkprnnnprnnnn习题3.13：有两幅图像f(x,y)和g(x,y)，它们的直方图分别为hf和hg。给出根据hf和hg确定如下直方图的条件，并解释如何获得每种情形下的直方图。(a)f(x,y)+g(x,y)第3章习题解答（3.13）解：由于直方图中不包含任何有关图像空间属性的信息，因此想根据两幅原始图像的直方图得到经过算术运算后的图像直方图的条件是：两幅图像中至少有一幅是常数。为方便起见，假定直方图没有归一化，即hf(rk)是图像f(x,y)中灰度级为rk的像素数目。假定图像g(x,y)中所有像素的灰度值都是常数c。最后，令uk代表算术运算后得到的图像的像素灰度级。显然uk=rk+c，且对所有的k有hsum(uk)=hf(rk)。即直方图hsum的分量值与hf的分量值相同，只是在灰度轴上的位置被右移了c。第3章习题解答（3.13）习题3.15：线性空间滤波处理要求在整幅图像中移动掩模的中心点，在每个处理区域中，计算掩模系数与该区域相应像素值乘积的总和。在低通滤波器中，所有的系数为1，我们使用所谓的盒滤波方法或滑动平均算法（这种方法只更新从某个位置滑动到下个位置时发生改变的那部分计算）。对一个n×n的滤波器公式化这样一个算法，说明涉及的计算规律，以及掩模在图像上滑动时所用的扫描序列。第3章习题解答（3.15）解：首先考虑一个3×3的掩模。由于所有的系数都是1，因此低通滤波的效果就是将掩模下所有像素的灰阶值相加，然后除以总的像素数目。初始时，完成上述运算需要8次加法。当掩模向右滑至下一个像素时，按下式计算新的响应：Rnew=Rold+(C3-C1)/N计算C3需要2次加法，再计算Rnew需要1次减法、1次除法和1次加法，总计5次运算。对于n×n的掩模，计算Cn需要（n-1）次加法，再计算Rnew需要1次减法、1次除法和1次加法，总计（n+2）次运算。第3章习题解答（3.15）掩模在图像上滑动时所用的扫描序列为：掩模在图像上从左到右滑动，当到达图像右边界时，向下滑动，然后从右至左滑动；当到达图像左边界时，向下滑动，然后再从左到右滑动……第3章习题解答（3.15）习题3.16(a)：假如采用如式(3.4-2)定义的卷积方法用空间滤波模板w(x,y)对图像f(x,y)滤波，其中模板在两个空间方向上都小于图像。证明如下重要特性：如果模板系数之和是0，则得到的卷积阵列（被滤波的图像）中所有元素之和也是0（可以忽略计算的不准确性）。另外，可以假设图像的边界已用合适数量的0填充过。第3章习题解答（3.16）•解：回答这一问题的关键是认清以下两个问题：•（1）任何位置上的卷积结果等于什么。•（2）在将模板同整幅图像卷积的过程中，每个像素只与模板中的每个系数乘1次。由于模板的系数和为0，因此模板系数与同一像素的乘积之和也为0。因此卷积后的图像中所有像素之和为0。第3章习题解答（3.16）习题3.18：在3.5.2节中谈到，相对于图像背景亮或暗的孤立像素团块，当它们的面积小于中值滤波器区域的一半时，经过中值滤波器处理后会被滤除（强迫置成邻域中值）。假定滤波器尺寸为n×n，n为奇数，请解释这种现象的原因。第3章习题解答（3.18）解：当中值滤波器尺寸为n×n，n为奇数时，排序为第(n2+1)/2的像素值就是中值，也是滤波器的输出。显然，有(n2-1)/2个像素小于等于中值，还有(n2-1)/2个像素大于等于中值。相对于图像背景亮或暗的孤立像素团块，当它们的面积A小于中值滤波器区域的一半，即An2/2(n2+1)/2时,即使整个孤立像素团都处于掩模覆盖之下，孤立像素团（比背景亮或暗）中也不可能有某个像素值等于中值。因此，当掩模中心点是孤立像素团中的一点时，该点将被强制置为背景中值，即被“滤除”掉。第3章习题解答（3.19）习题3.19：(a)试提出一种过程来求一个n×n邻域的中值(b)试提出一种方法，逐像素地移动邻域的中心来更新中值解：(a)排序后，第(n2+1)/2的像素值就是中值。(b)若从左到右移动邻域的中心，则从已排序阵列中删去最左边一列中的像素值，然后将新引入的最右边一列中的像素值排列到合适的位置。第3章习题解答（3.19）习题3.21：以下的三幅图像是分别通过n=23,25和45的方形均值掩模处理后的模糊图像。图(a)和(c)中左下角的垂直竖条被模糊了，但竖条和竖条之间的分隔仍然很清楚。但图(b)中的竖条却已融入了整幅图像，尽管产生这幅图像的掩模要比处理图像(c)的小得多，请解释这一现象。已知竖条是5个像素宽，100个像素高，间距为20个像素。第3章习题解答（3.21）解：如图显然，当n=25的方形均值掩模向右平移时，掩模所覆盖的属于竖直条的像素的个数并不发生变换，因而其输出的像素平均值不变。因此，竖条间没有间隔。第3章习题解答（3.21）习题3.24：证明如式(3.6-3)所示的拉普拉斯变换是各向同性的（旋转不变）。当坐标轴旋转了θ角度时，要用到下列的坐标方程(x,y)为未旋转的坐标，(x',y')为旋转后的坐标第3章习题解答（3.24）解：对于未旋转的坐标，拉普拉斯算子定义为：对旋转后的坐标定义为：第3章习题解答（3.24）第3章习题解答（3.24）习题3.25：您在图3.38中看到中心为-8的拉普拉斯模板所得到的结果要比中心为-4的模板所得到的的结果清晰一些。详细说明其原因。第3章习题解答（3.25）习题3.28：使用（3.6-6）式给出的拉普拉斯变换的定义，证明将一幅图像减去其相应的拉普拉斯图像等同于对图像做非锐化掩蔽（unsharpmasking）处理。第3章习题解答（3.28）2[(1,)(1,)(,1)(,1)]4(,)ffxyfxyfxyfxyfxy将上式中的常数看作是比例因子，可得第3章习题解答（3.27）即为（3.6-8）式的非锐化掩蔽处理TheEnd