北京工业大学计算方法期末试题13-04-25参考答案

北京工业大学2012—2013学年第2学期《计算方法》考试试卷第1页共6页北京工业大学2012——2013学年第二学期《计算方法》考试试卷考试说明：本试卷所有试题中需要近似计算时均保留4位有效数字承诺：本人已学习了《北京工业大学考场规则》和《北京工业大学学生违纪处分条例》，在考试过程中自觉遵守有关规定和纪律，服从监考教师管理，诚信考试，做到不违纪、不作弊、不替考，若有违反，愿接受相应处分。承诺人：学号：班号：。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。注：本试卷共九大题，共六页，满分100分，考试时必须使用卷后附加的统一答题纸和草稿纸。卷面成绩汇总表（阅卷教师填写）题号一二三四五六七八九总成绩满分101015151010101010得分一、(10分)方程2250xx在区间[1，2]内有唯一根，写出用二分法计算前3步的结果，判断所得的近似解有几位有效数字？121.50.2511.51.25-0.93751.251.51.375-0.35938(3)1.375x11013*)3(102110210625.0212xx1位有效数字二、（10分）用列主元Gauss消去法求方程组的解1231231232234233249xxxxxxxxx得分得分北京工业大学2012—2013学年第2学期《计算方法》考试试卷第2页共6页21311232232311182112342332493423342311121120432490661234233423066120661211110100400333333rrrrrrrrrr321231,1,(342)/31(1,1,1)Txxxxxx三、（15分）考虑用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组的解1511015321321321xxxxxxxxx(1)写出这两种迭代法的迭代格式；(2)指出这两种迭代格式的收敛性及其根据；写出用Gauss-Seidel迭代法计算3步的结果。解：(1)Jacobi和Gauss-Seidel迭代格式:)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1515151101101101515151kkkkkkkkkxxxxxxxxx)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1515151101101101515151kkkkkkkkkxxxxxxxxx(2)因为03115131211aaa081110232122aaa03115323133aaa即本方程系数矩阵严格对角占优，所以Jacobi和Gauss-Seidel迭代均收敛。(3)取初始解0)0(x,则得分北京工业大学2012—2013学年第2学期《计算方法》考试试卷第3页共6页144.008.02.008.02.02.02.02.02.01.01.02.0)1(x(2)0.20.20.080.20.1440.24480.10.10.24480.10.10.061120.20.20.24480.20.0611201388.x(3)0.20.20.061120.20.13880.24000.10.10.24000.10.13880.062120.20.20.24000.20.0621201396.x四、（15分）以2,1,0210xxx为插值节点，对于函数xey：(1)写出其Newton二次插值函数)(2xN；(2)写出其插值余项公式)(2xR；(3)计算2(0.5)N并估计其误差。1122222()[,][,,]0110.36790.632120.13530.23260.1998()10.63210.1998(1)()(1)(2)3!(0.5)10.63210.50.19980.5(0.5)0.6340(0.5)0.50.51.50.062503!kkkkkkkxfxfxxfxxxNxxxxeRxxxxNeRe.0625五、（10分）取N=2用复化Simpson求积公式计算积分dxeIx10的值，并给出精度估计。(提示：复化Simpson求积公式的截断误差公式为)(max2880][)4(4xfhabfRbxaNN)。得分得分北京工业大学2012—2013学年第2学期《计算方法》考试试卷第4页共6页245201()00111050.7788420.50.6065230.750.47244410.36791()7.58570.5/67.58570.6321111[]max2.17102880246080.2kkkkxxkxfxafxSRfe六、（10分）用形如bxaey(a,b为常数且a0)的公式拟合下列数据：6.485.473.569.750.152.005.710.515.210.01iiyx对bxaey两边取对数则有bxaylnln令bxAY，对数据做相应变换135.2008.2876.1756.1629.12.005.710.515.210.01iiYx88.1142.14404.95.7000.4270.4135.200.25063.3514.3008.275.14250.2814.2876.150.13563.1195.2756.125.12000.1629.1629.100.112kkkkkxYxYxk42.14404.988.115.75.75bA4984.0,105.3,133.1133.1beaAxey4984.0105.3得分北京工业大学2012—2013学年第2学期《计算方法》考试试卷第5页共6页七、（10分）设1()tanfxx，(2)(2)22()hhffGhh，已知(2)0.3927,(1)0.3488,(0.5)0.3372GGG，用外推法计算(2)f。012()(/2)(/4)00.392710.34880.334220.33720.33330.3332kGhGhGh(2)0.3332f八、（10分）用改进Eular法求解微分方程2)0(yxyy在x=0.5的近似解，取步长h=0.1。1000100011(,)20.1(02)2.2[(,)(,)]20.05(020.12.2)2.215210.12.22.21520.22.4462.46330.32.7292.74840.43.0523.07350.53.4203.442(0.5)3.442nnnyyhfxyhyyfxyfxynxyyy九、（10分）设有矩阵132234332A，取初始向量321x，写出用幂法迭代3次的计算结果，并对第3次所得近似特征向量计算其Rayleigh商作为近似特征值。已知精确的特征值为4，指出第3次幂法所得近似特征值与用Rayleigh商所得近似特征值各有几位有效数字。得分得分得分北京工业大学2012—2013学年第2学期《计算方法》考试试卷第6页共6页解：取(0)321x，则(0)(0)(1)11323110.6875234216,1,16332150.3125yAxxm1230160.687510.312515.6250.766710.0555624.3110.847910.1881kkmxxx34.311m(3)0.847910.1881Tx，(3)(3)(3)(3)4.015TTxAxxx01131140.311101022m，有1位有效数字1121140.015101022，有2位有效数字