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第四章三角形4.1.1认识三角形三条线段由不在同一直线的首尾顺次连接所组成的图形叫三角形。三个顶点三个内角ABC三条边ABC“三角形”用符号“Δ”表示，如图顶点是A，B，C的三角形记做“ΔABC”，读做“三角形ABC”。ABBC、AC、AB内角:∠A、∠B、∠C点A、点B、点Cacb或a、b、c三边:顶点:如图三角形中三边可表示为AB、BC、AC，顶点A所对的边BC也可表示为a，顶点B所对的边AC表示为b，顶点C所对的边AB表示c注意:1.表示三角形时，字母没有先后顺序；2.如下图，我们把BC(或a）叫做A的对边，把AB（或c），AC（或b）分别叫做A的邻边.ABCcab边：三角形中三边AB，BC，AC.如果我说三角形有三要素,你能猜出是哪三要素吗?ABCbac角：三角形中有三个角：∠A，∠B，∠C.顶点：三角形中有三个顶点，顶点A，顶点B，顶点C.(1)元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯，装有黄色彩灯的电线与装有红色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由。利用你发现的规律填空AB+ACBCAB+BCACAC+BCABABc议一议(2)在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系?议一议在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A—B路线，而不选择A—C—B路线，难道小狗也懂数学？CBA三角形任意两边之和大于第三边分别量出下面三个三角形的三边长度，并填空。abcabcabc(1)a=_____b=_____c=_____(2)a=_____b=_____c=_____(3)a=_____b=_____c=_____计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？做一做三角形任意两边之差小于第三边有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？动手摆一摆。解：取长度为2cm的木棒时，由于2+5=78，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形。取长度为13cm的木棒时，由于5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形。你能取一根木棒，与原来的两根木棒摆成三角形吗？任意两边之和大于第三边。任意两边之差小于第三边。ABCabc你知道为什么吗？两点之间线段最短！三角形的三边关系:三角形的任何两边之和大于第三边bcaABCa+bcb+cac+ab任何反之：在三条线段中若任两线段之和大于第三线段则这三条线段能构成一个三角形。长度为6cm,4cm,3cm三条线段能否组成三角形？因为6+436+344+36所以能组成三角形只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形.请用所学的数学知识解释：2、两点之间的所有连线中，线段最短1、三角形任意两边之和大于第三边人行横道.A.B为什么经常有行人斜穿马路而不走人行横道?1、三条线段的长度分别为：（1）3、8、10（2）5、2、7（3）5、5、11（4）13、12、20能组成三角形的有（）组。A、1B、2C、3D、42、有3、5、7、10的四根彩色线形木条，要摆出一个三角形，有（）种摆法。A、1B、2C、3D、4３、（１）一个等腰三角形的一边是２cm，另一边是９cm，则这个三角形的周长是()（２）一个等腰三角形的一边是５cm，另一边是７cm，则这个三角形的周长是()练一练１、小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念是（）．．．．．．BAC．．下图中有__个三角形，它们分别是______________。请说出这两个三角形的三条边和三个内角。填一填ABCD3、如图，三角形ABC记作：∠B的对边是邻边是练一练ABCDECBADΔABDΔACDΔABC你会吗？请你找出下图中的三角形，并用符号表示出来。它们分别是：可用顶点的两个大写字母表示。ABCcba想一想怎样表示三角形的三条边呢？方法一：如：边AB、BC、CA方法二：可用一个小写字母表示。但需要注意的是，在一般情况下，如：边a、b、c顶点B所对的边CA用b表示,顶点C所对的边AB用c表示。顶点A所对的边BC用a表示，练一练如图：（1）图中有几个三角形？（2）∠A是哪两个三角形的公共角？（3）CD是哪两个三角形的公共边？（4）⊿BCD与哪些三角形有公共角？与哪些三角形有公共边？ABCDE在小学我们探究了三角形三个内角的和等于180˚，你还记得这个结论的探索过程吗?1ABD2C如图,当时我们是撕下两个角,把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置。如果只撕下一个角,你能用学过的知识拼凑并解释“三角形的三个内角和是180˚”吗？123(1)做一个三角形纸片,它的三个内角分别为∠1,∠2和∠3,如下图.123(2)将∠1撕下,并按上图进行摆放,其中∠1的顶点与∠2的顶点重合,它的一条边与∠2的一条边重合.此时∠1的另一条边b与∠3的一条边a平行吗?为什么?1ab1231ab(3)将∠２与∠３的公共边延长，它与b所夹的角为∠4.∠3与∠4的大小有什么关系？为什么？4由此你能得到什么结论？三角形的三个内角和等于180度.你会用几何语言进行证明吗？证明：在△ABC的外部，以CA为一边，CE为另一边作∠1=∠A，作BC的延长线CD，于是CE∥BA(内错角相等，两直线平行).∴∠B=∠2(两直线平行，同位角相等).又∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定义)∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)12CAEBD还有其他证明方法吗？证法2：12CAEBD过C作CE∥BA.作BC的延长线CD，于是∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)∠B=∠2又∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定义)∴∠A+∠B+∠ACB=180°(两直线平行，同位角相等)(等量代换)CABEF证法3：过A作EF∥BCCABE证法4：过A作AE∥BC(3)(2)(1)下面的图⑴、图⑵、图⑶中的三角形被遮住的两个内角是什么角？试着说明理由。(3)(2)(1)将图⑶的结果与图⑴、图⑵的结果进行比较，可以将三角形如何按角分类？三角形的分类锐角三角形三个内角都是锐角钝角三角形有一个内角是钝角直角三角形有一个内角是直角直角边直角边斜边1.常用符号“Rt∆ABC”来表示直角三角形ABC.2.直角三角形的两个锐角之间有什么关系？直角三角形的两个锐角互余⑦⑥⑤④③②①1.观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应图内：锐角三角形直角三角形钝角三角形1.一个三角形两个内角的度数分别如下,这个三角形是什么三角形?(1)30度和60度(2)40度和70度(3)50度和20度2.在下面的空白处,分别填入“锐角”，“钝角”或“直角”：（1）如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是三角形；（2）如果三角形的一个内角等于另外两个内角之和，那么这个三角形是三角形；（3）如果三角形的两个内角都小于40度，那么这个三角形是三角形.3.△ABC中,∠A:∠B:∠C=2:3:4,则∠A=,∠B=,∠C=.4.在△ABC中,∠A=1/3∠B=1/5∠C,则△ABC是三角形.5.已知∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.⑴图中有几个直角三角形？是哪几个？分别说出它们的直角边和斜边。⑵∠ACD和∠A有什么关系？∠BCD和∠A呢？CBADCBAD解：直角三角形有三个，分别是：CBAD解：∠ACD和∠A互余∠BCD和∠A相等又∵∠ACD＋∠A＋∠ADC=180°证明：在Rt∆ADC中,∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°∴∠ACD＋∠A=90°又∵∠ACD＋∠BCD=90°∴∠BCD=∠A一个三角形中会有两个直角？可能两个内角是钝角或锐角吗？1.已知∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，∠A＝70°，∠C＝30°，∠B＝（）.2.直角三角形一个锐角为70°，另一个锐角等于（）.3.在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=（）.4.如果△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5，此三角形按角分类应为（）.有关三角形的角度计算问题，有两种类型：一是直接利用三角形的内角和180°进行计算；二是设某一个角为x（或将某一个角视为未知数），其余的角用x的代数式表示，从而根据题意列出方程（组）求解，这就是“形题数解”。如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，C处有一灯塔，请你根据图中所标数据求∠ACB的大小，当轮船距离灯塔C最近时，∠ACB是多少度？30°70°BCAE30°70°BCAE解：∵∠ABC+∠CBE=180°∴∠ABC=180°－∠CBE=180°－70°=110°∴在∆ABC中，∠ACB=180°－∠ABC－∠A=180°－110°－30°=40°30°90°BCA解：当轮船距离灯塔C最近时，则有CB⊥AB即∠ACB=90°∴在∆ABC中，∠ACB=180°－∠ABC－∠A=180°－90°－30°=60°1.三角形三个内角的和等于180˚.2.三角形按角的大小分类：⑴锐角三角形：三个内角都是锐角；⑵直角三角形：有一个内角为直角；⑶钝角三角形：有一个内角为钝角。3.直角三角形的两个锐角互余。