二次函数知识讲解

中国教育培训领军品牌全力以赴赢在环雅1环球雅思学科教师辅导讲义组长签字：授课主题函数专题1：二次函数授课日期及时段2015年4月18日13:00---15:00教学目标函数的综合运用重点难点几何与函数的综合应用教学内容第一步，知识梳理知识点一：二次函数的定义一般地，如果.....................................................(,,yabc是常数，0)a，那么y叫x的二次函数．知识点二：二次函数的图象与性质（一）二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2yax；②2yaxk；③2yaxh；④2yaxhk，其中......................................................hk，；⑤2yaxbxc．几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2yax当0a时开口当0a时开口...............x（轴）（，）2yaxk...............x（轴）（，）2yaxh...............x（，）2yaxhk...............x（，）2yaxbxc...............x（，）中国教育培训领军品牌全力以赴赢在环雅2（二）抛物线2yaxbxc中，,,abc的作用（1）a决定及，这与2yax中的a完全样．（2）b和a共同决定抛物线的位置．由于抛物线2yaxbxc的对称轴是直线2bxa，故：①0b时，对称轴为轴；②0ba（即a、b号）时，对称轴在y轴侧；③0ba（即a、b号）时，对称轴在y轴侧．（3）c的大小决定抛物线2yaxbxc与轴交点的位置．当0x时，yc，∴抛物线2yaxbxc与y轴有且只有一个交点（，）：①0c，抛物线经过；②0c，与y轴交于半轴；③0c，与y轴交于半轴．（三）用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：................................................y．已知图象上点或三对x、y的值通常选择一般式．（2）顶点式：.............................................y．已知图象的或，通常选择顶点式．（可以看成2yax的图象平移后所对应的函数．）（3）“交点式”：已知图象与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：..........................................y．（由此得根与系数的关系！12................12................,xxxx）知识点三：二次函数与一元二次方程的关系函数20yaxbxca，当0y时，得到一元二次方程200axbxca，那么一元二次方程的解就是中国教育培训领军品牌全力以赴赢在环雅3二次函数的图象与x轴交点的坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况．（1）当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时2...........40bac，则方有实根；（2）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时2.............40bac则方程有实根；（3）当二次函数的图象与x轴没有交点，这时2...............40bac，则方程实根．通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：240baca0002yaxbxc0a的图象20axbxc0a的解第二步，例题精讲类型一：二次函数的定义例1．如果函数232(3)1mmymxmx是二次函数，试确定m的值．类型二：求二次函数的解析式及最大值例1．已知当x=-1时，抛物线最高点的纵坐标为4，且与x轴两交点的距离是6，求此函数的解析式．例.二次函数cbxaxy2的图像与x轴交于点A（-8,0）、B（20），与y轴交于点C，∠ACB=90（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图像的顶点坐标；2、如图2，已知二次函数y=ax2+4x+c的图像经过点A和点B．中国教育培训领军品牌全力以赴赢在环雅4（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离类型三：二次函数的图象及性质例1．如图所示，二次函数2yaxbxc的图象开口向上，图象经过点（-1,2）和（1，0），与y轴交于负半轴．1.四个结论：①a0，②b0，③c0，④a+b+c=0，其中正确的序号是；2.四个结论：①abc0；②2a+b0，③a+c=1，④a1，其中正确的序号是．例、（05海南中考）如图8，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点.(1)求该抛物线的解析式；中国教育培训领军品牌全力以赴赢在环雅5(2)设(1)中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8,并求出此时P点的坐标；(3)设(1)中抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.类型四：一元二次方程与二次函数的关系例3、二次函数2(0)yaxbxca的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20axbxc的两个根；（2）写出不等式20axbxc的x的取值范围；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（4）若方程2axbxck有两个不相等的实数根，求k的取值范围．类型五：实际应用例1．某跳水运动员进行10m跳台跳水训练时，身体（看做一点）在空中的运动路线是如图所示坐中国教育培训领军品牌全力以赴赢在环雅6标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中最高处距水面2103m，入水处距池边的距离为4m，同时，运动员在距离水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的关系式；（2）在某次试跳中测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为335m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．例2．如图（1），三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB=20米，顶点M距水面6米（即MO=6米），小孔顶点N距水面4.5米（即NC=4.5米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图（2）的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF．例3．如图所示，张强的爸爸想利用一边长为am的旧墙及24m长的旧木料，建造羊舍3间，它们中国教育培训领军品牌全力以赴赢在环雅7的平面图是一排大小相等的长方形．（1）如果设羊舍宽为xm，则羊舍总面积S（m2）与x（m）有怎样的函数关系式？（2）请你帮助张强的爸爸算一下，如果羊舍总面积为32m2，应如何安排羊舍的长和宽？旧墙的长度是否会对羊舍的长度有影响？有什么样的影响？（3）为了让羊儿住得好，32m2是否是最大面积？请利用有关的知识加以说明．类型六：二次函数与几何的结合1、如图，二次函数y=（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b（x﹣2）2+m的x的取值范围．2、如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛中国教育培训领军品牌全力以赴赢在环雅8物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)求△ABD的面积；(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．3、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．4，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上.中国教育培训领军品牌全力以赴赢在环雅9（1）求m的值及这个二次函数的关系式；(2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.5.(07浙江中考)如图6，抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。家庭作业中国教育培训领军品牌全力以赴赢在环雅101、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。2、抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝.3、抛物线y=－32x2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为。4、抛物线y=21x2向上平移2个单位长度后得到新抛物线的解析式为____________。5、二次函数y=2x2-x,当x_______时y随x增大而增大，当x_________时,y随x增大而减小。6、如图是y=ax2+bx+c的图象，则a______0,b______0,c______0,a+b+c______0,a-b+c_______0,b2-4ac________0,2a+b_______0.7、与y=2(x-1)2+3形状相同的抛物线解析式为（）A、y=1+21x2B、y=(2x+1)2C、y=(x-1)2D、y=2x28、y=x2-1可由下列（）的图象向右平移1个单位，下平移2个单位得到A、y=(x-1)2+1B、y=(x+1)2+1C、y=(x-1)2-3D、y=(x+1)2+39、函数y=2x2-x+3经过的象限是（）A、一、二、三象限B、一、二象限C、三、四象限D、一、二、四象限10、函数y=-x2+4x+1图象顶点坐标是（）A、（2，3）B、（-2，3）C、（2，1）D、（2，5）11、抛物线y=3x-x2+4与x轴交点为A，B，顶点为C，求△ABC的面积。12．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．下面的二次函数图像（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．根据图像提供的信息，解答下列问题：中国教育培训领军品牌全力以赴赢在环雅11（1）求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司