求曲线上过点切线方程这里

YunnanUniversity§4.空间曲线的切线与法平面求曲线上过点的切线方程，这里),,(0000zyxM设曲线用参数方程表示为(),(),()xxtyytzzt000000(),(),()xxtyytzztYunnanUniversity§4.空间曲线的切线与法平面由于切线是割线的极限位置，从而考虑通过点和点的割线方程),,(zyxM0M000000()()()()()()()()()XxtYytZztxtxtytytztzt在上式各端的分母都除以0tt000000000()()()()()()()()()XxtYytZztxtxtytytztztttttttYunnanUniversity§4.空间曲线的切线与法平面由于切线是割线的极限位置，在上式中令取极限，就得到曲线在点的切线方程：0tt0M000000()()()()()()XxtYytZztxtytzt000(),(),().xtytzt由此可见，曲线在点的切线的一组方向数是0MYunnanUniversity§4.空间曲线的切线与法平面曲线在点的法平面就是过点且与该点的切线垂直的平面，于是切线的方向数就是法平面的法方向数，从而过点的法平面方程是0M0M000000()()()()()()0xtXxytYyztZz如果曲线的方程表示为(),()yyxzzx,(),()xxyyxzzx可以把它写成如下的以为参数的参数方程x于是可得曲线在点的切线方程和法平面方程如下：0M00000()()1()()XxYyxZzxyxzx00000()()()()()0XxyxYyzxZzYunnanUniversity§4.空间曲线的切线与法平面一般地，如果曲线表示为两个曲面的交线：(,,)0(,,)0FxyzGxyz设，设上述方程组在点确定了一对函数0(,)0(,)MDFGDyz0M(),()yyxzzx由这两个方程可解出(,)(,)(,)(,),(,)(,)(,)(,)dydzDFGDFGDFGDFGDzxDyzDxyDyzdxdx这时容易把它化成刚才讨论过的情形：YunnanUniversity§4.空间曲线的切线与法平面从而可得曲线在点的切线方程：0M000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)MMMXxYyZzDFGDFGDFGDyzDzxDxy和法平面方程000000(,)(,)(,)()()()0(,)(,)(,)MMMDFGDFGDFGXxYyZzDyzDzxDxyYunnanUniversity§4.空间曲线的切线与法平面解：'''2tt1,2,3txytzt在（1，1，1）点对应参数为t=11,2,3T切线方向数为切线方程：121123xyz法平面方程：(x-1)+2(y-2)+3(z-1)=0即：x+2y+3z=8例1求曲线在点处的切线及法平面方程。3,2,xtytzt(1,2,1)YunnanUniversity§4.空间曲线的切线与法平面例2、求曲线在点（1，-2，1）处的切线及法平面方程。0,6222zyxzyx222600xyzxyz解：方程组转化为,x方程组两端关于求导得222010dydzxyzdxdxdydzdxdxYunnanUniversity§4.空间曲线的切线与法平面dyzxdxyzdzxydxyz解之得＝1211,2,101dydxdzdx，－，从而＝YunnanUniversity§4.空间曲线的切线与法平面1,2,1121101XYZ所以过点的切线方程为1,2,110100XYZZXZ所以过点的法平面方程为即YunnanUniversity§4.空间曲线的切线与法平面ZYXO0MTZ例3求两柱面222222,xyRxzR的交线在点：,,222RRR处的切线方程。YunnanUniversity§4.空间曲线的切线与法平面解:222222,xyRxzR在方程组中分别对求导数，得x220220dyxydxdzxzdxdyxdxydzxdxz解之，得YunnanUniversity§4.空间曲线的切线与法平面所以切线方程为：222111RRRxyz即2(2)(2)xRyRzR此直线可看作是平面与平面的交线。2xyRyz从而在点有：,,222RRR1,1dydzdxdxYunnanUniversity§4.空间曲线的切线与法平面234,,24.xtytztxyz例在曲线求出一点，使过此点的切线平行于平面21,2,3.Ttt解：曲线的切向量为1,2,1.n平面法向量为21430.Tntt按题设，应有解之，得YunnanUniversity§4.空间曲线的切线与法平面11.3tt或121111,1,1,,.3927MM于是所求的点为或YunnanUniversity§4.空间曲线的切线与法平面YunnanUniversity§4.空间曲线的切线与法平面YunnanUniversity§4.空间曲线的切线与法平面YunnanUniversity§4.空间曲线的切线与法平面YunnanUniversity§4.空间曲线的切线与法平面YunnanUniversity§4.空间曲线的切线与法平面YunnanUniversity§4.空间曲线的切线与法平面YunnanUniversity§4.空间曲线的切线与法平面YunnanUniversity§4.空间曲线的切线与法平面YunnanUniversity§4.空间曲线的切线与法平面YunnanUniversity§4.空间曲线的切线与法平面YunnanUniversity§4.空间曲线的切线与法平面