【创新设计】(江苏专用)高考数学一轮复习-第十五章-第2讲-矩阵与变换配套课件-理-新人教A版

揭秘3年高考第2讲矩阵与变换揭秘3年高考考点梳理1．乘法规则(1)行矩阵[a11a12]与列矩阵b11b21的乘法规则：[a11a12]b11b21＝__________________．(2)二阶矩阵a11a21a12a22与列向量x0y0的乘法规则：a11a21a12a22x0y0＝________________.设A是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则[a11×b11＋a12×b21]a11×x0＋a12×y0a21×x0＋a22×y0揭秘3年高考①A(λα)＝λAα；②A(α＋β)＝Aα＋Aβ；③A(λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：a11a21a12a22b11b21b12b22＝a11×b11＋a12×b21a21×b11＋a22×b21a11×b12＋a12×b22a21×b12＋a22×b22性质：①一般情况下，AB≠BA，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB)C＝A(BC)；③矩阵的乘法不满足消去律．揭秘3年高考(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A，B，若有AB＝BA＝__，则称A是可逆的，__称为A的逆矩阵．若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵是唯一的，通常记A的逆矩阵为A－1，A－1＝B.2．矩阵的逆矩阵(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A＝abcd(detA＝ad－bc≠0)，它的逆矩阵为A－1＝_________________.EBdad－bc－bad－bc－cad－bcaad－bc揭秘3年高考(3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x，y的二元一次方程组ax＋by＝m，cx＋dy＝n的系数矩阵A＝abcd可逆，那么该方程组有唯一解xy＝abcd－1mn，其中A－1＝dad－bc－bad－bc－cad－bcaad－bc.揭秘3年高考3．二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的一个属于特征值λ的一个特征向量．(2)特征多项式与特征方程设λ是二阶矩阵A＝abcd的一个特征值，它的一个特征向量为ξ＝xy，则Axy＝λxy，即xy满足二元一次方程组ax＋by＝λx，cx＋dy＝λy，揭秘3年高考故λ－ax－by＝0－cx＋λ－dy＝0⇔λ－a－b－cλ－dxy＝00(*)则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式λ－a－b－cλ－d＝0.记f(λ)＝__________为矩阵A＝abcd的特征多项式；方程λ－a－b－cλ－d＝0，即f(λ)＝0称为矩阵A＝abcd的特征方程．λ－a－b－cλ－d揭秘3年高考(3)特征值与特征向量的计算如果λ是二阶矩阵A的特征值，则λ是特征方程f(λ)＝λ－a－b－cλ－d＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc＝0的一个根．解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解x＝x1，y＝y1，x＝x2，y＝y2，记ξ1＝x1y1，ξ2＝x2y2.则Aξ1＝λ1ξ1、Aξ2＝λ2ξ2，因此λ1、λ2是矩阵A＝abcd的特征值，ξ1＝____，ξ2＝____为矩阵A的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量．x1y1x2y2揭秘3年高考常见考查角度(1)矩阵的概念和常见变换的识别与简单应用，重点是变换前后的方程表达式；(2)矩阵的乘法和运算性质及矩阵与逆矩阵；(3)考查求二阶矩阵的特征值与特征向量；(4)二阶矩阵的特征值与特征向量简单应用．【助学·微博】揭秘3年高考考点自测1．(2012·徐州调研)曲线C1：x2＋2y2＝1在矩阵M＝1021的作用下变换为曲线C2，求C2的方程．解设P(x，y)为曲线C2上任意一点，P′(x′，y′)为曲线x2＋2y2＝1上与P对应的点，则1021x′y′＝xy，即x＝x′＋2y′，y＝y′⇒x′＝x－2y，y′＝y.因为P′是曲线C1上的点，所以C2的方程为(x－2y)2＋y2＝1.揭秘3年高考2．(2012·如皋中学质量检测)已知矩阵A＝2－1－43，B＝4－1－31，求满足AX＝B的二阶矩阵X.揭秘3年高考3．(2013·扬州调研)已知矩阵A将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是11，求矩阵A.解设A＝acbd，由acbd10＝23，得a＝2，c＝3.由acbd11＝311＝33，得a＋b＝3，c＋d＝3.所以b＝2，d＝0.所以A＝2310.揭秘3年高考考向一矩阵与变换【例1】(2012·苏州市自主学习调查)已知a，b是实数，如果矩阵M＝2ab1所对应的变换将直线x－y＝1变换成x＋2y＝1，求a，b的值．解设点(x，y)是直线x－y＝1上任意一点，在矩阵M的作用下变成点(x′，y′)，则2ab1xy＝x′y′，所以x′＝2x＋ay，y′＝bx＋y.揭秘3年高考因为点(x′，y′)，在直线x＋2y＝1上，所以(2＋2b)x＋(a＋2)y＝1，即2＋2b＝1，a＋2＝－1，所以a＝－3，b＝－12.揭秘3年高考[方法总结]理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键．揭秘3年高考【训练1】(2013·南京金陵中学月考)求曲线2x2－2xy＋1＝0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M＝1002，N＝1－101.解MN＝10021－101＝1－202.设P(x′，y′)是曲线2x2－2xy＋1＝0上任意一点，点P在矩阵MN对应的变换下变为点P′(x，y)，则xy＝1－202x′y′＝x′－2x′＋2y′.于是x′＝x，y′＝x＋y2，代入2x′2－2x′y′＋1＝0，得xy＝1.所以曲线2x2－2xy＋1＝0在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy＝1.揭秘3年高考考向二考查二阶逆矩阵与二元一次方程组【例2】已知矩阵M＝2－31－1所对应的线性变换把点A(x，y)变成点A′(13,5)，试求M的逆矩阵及点A的坐标．解依题意得由M＝2－31－1，得|M|＝1，故M－1＝－13－12.从而由2－31－1xy＝135得xy＝－1－132135＝－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝2－3，故x＝2，y＝－3，∴A(2，－3)为所求．揭秘3年高考[方法总结]求逆矩阵时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解．在求逆矩阵时要重视(AB)－1＝B－1A－1性质的应用．揭秘3年高考【训练2】已知矩阵A＝2132，(1)求矩阵A的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识解方程组2x＋3y－1＝0，x＋2y－3＝0，解(1)法一设逆矩阵为A－1＝acbd，则由2132acbd＝1001，得2a＋3c＝1，2b＋3d＝0，a＋2c＝0，b＋2d＝1，揭秘3年高考解得a＝2，b＝－3，c＝－1，d＝2，A－1＝2－1－32.法二由公式知若A＝acbd＝2132，揭秘3年高考(2)已知方程组2x＋3y－1＝0，x＋2y－3＝0，可转化为2x＋3y＝1，x＋2y＝3，即AX＝B，其中A＝2132，X＝xy，B＝13，且由(1)，得A－1＝2－1－32.因此，由AX＝B，同时左乘A－1，有A－1AX＝A－1B＝2－1－3213＝－75.即原方程组的解为x＝－7，y＝5.揭秘3年高考考向三求矩阵的特征值与特征向量【例3】(2012·常州市期末考试)求矩阵M＝214－1的特征值及对应的特征向量．解由题意知，矩阵M的特征多项式为f(λ)＝(λ－2)(λ＋1)－4＝λ2－λ－6＝(λ－3)(λ＋2)．令f(λ)＝0，得到矩阵M的特征值为λ1＝3，λ2＝－2.当λ1＝3时，由3－2x－4y＝0，－x＋3＋1y＝0，可得矩阵M的一个特征向量为α1＝41；揭秘3年高考当λ2＝－2时，由－2－2x－4y＝0，－x＋－2＋1y＝0，可得矩阵M的一个特征向量为α2＝1－1.揭秘3年高考[方法总结]已知A＝acbd，求特征值和特征向量，其步骤为：①令f(λ)＝λ－a－c－bλ－d＝(λ－a)(λ－d)－bc＝0，求出特征值λ；②列方程组λ－ax－by＝0，－cx＋λ－dy＝0；③赋值法求特征向量，一般取x＝1或者y＝1，写出相应的向量．揭秘3年高考【训练3】已知a∈R，矩阵A＝1a21对应的线性变换把点P(1,1)变成点P′(3,3)，求矩阵A的特征值以及每个特征值的一个特征向量．解由题意1a2111＝3a＋1＝33，得a＋1＝3，即a＝2，矩阵A的特征多项式为f(λ)＝λ－1－2－2λ－1＝(λ－1)2－4＝(λ＋1)(λ－3)，令f(λ)＝0，所以矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝3.①对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组x＋y＝0，2x＋2y＝0揭秘3年高考得一个非零解x＝1，y＝－1.因此，α＝1－1是矩阵A的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量；②对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组2x－2y＝0，－2x＋2y＝0得一个非零解x＝1，y＝1.因此，β＝11是矩阵A的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．揭秘3年高考矩阵与变换题运算要细心，变换的复合、二阶矩阵的乘法、二阶矩阵的逆矩阵的求解，二阶矩阵的特征值与特征向量的求解等计算量都比较大，计算时要细心．规范解答28程序化解决矩阵问题揭秘3年高考[审题路线图](1)利用MM－1＝E求解，或利用求逆矩阵公式求解．(2)先设出变换前后的坐标分别为(x，y)，(x′，y′)．利用矩阵乘法列出方程组，代入变换后方程求解．【示例】(2011·福建卷)设矩阵M＝a00b(其中a0，b0)．(1)若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1；(2)若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：x24＋y2＝1，求a，b的值．揭秘3年高考[解答示范](1)设矩阵M的逆矩阵M－1＝