离散型随机变量的期望与方差、正态分布75

课时跟踪检测(七十五)离散型随机变量的期望与方差、正态分布[高考基础题型得分练]1．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到次品的个数，则E(X)＝()A.35B.815C.1415D．1答案：A解析：离散型随机变量X服从N＝10，M＝3，n＝2的超几何分布，E(X)＝nMN＝2×310＝35.2．已知离散型随机变量X的分布列为X123P35310110则X的数学期望E(X)＝()A.32B．2C.12D．3答案：A解析：E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.3．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为()A．0.4B．1.2C．0.43D．0.6答案：B解析：∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，∴E(X)＝3×0.4＝1.2.4．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为()A．3×2－2B．2－4C．3×2－10D．2－8答案：C解析：由题意知，np＝6，np1－p＝3，解得p＝12，n＝12.∴P(X＝1)＝C112×12×1－1211＝12212＝3×2－10.5．某班有14名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，其中数学成绩优秀的学生数X～B5，14，则E(2X＋1)＝()A.54B.52C．3D.72答案：D解析：因为X～B5，14，所以E(X)＝54，所以E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×54＋1＝72.6．罐中有6个红球、4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，则X的方差D(X)的值为()A.125B.2425C.85D.265答案：B解析：因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，X为取得红球(成功)的次数，则X～B4，35，∴D(X)＝4×35×1－35＝2425.7．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝()A.126125B.65C.168125D.75答案：B解析：由题意知，X可取0,1,2,3，则P(X＝0)＝33125＝27125，P(X＝1)＝9×6125＝54125，P(X＝2)＝3×12125＝36125，P(X＝3)＝8125.故E(X)＝54125＋2×36125＋3×8125＝65.8．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为()A.24181B.26681C.27481D.670243答案：B解析：依题意知，ξ的所有可能值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为232＋132＝59.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P(ξ＝2)＝59，P(ξ＝4)＝49×59＝2081，P(ξ＝6)＝492＝1681，故E(ξ)＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681.9．某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，根据统计，随机变量ξ的概率分布列如下，则ξ的数学期望为________．01230.10.32aa答案：1.7解析：由概率分布列的性质，得0.1＋0.3＋2a＋a＝1，解得a＝0.2，∴ξ的概率分布列为ξ0123P0.10.30.40.2∴E(ξ)＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.10．若随机变量服从正态分布ξ～N(2,1)，且P(ξ3)＝0.1587，则P(ξ1)＝________.答案：0.8413解析：由题意可知，正态分布密度函数的图象关于直线x＝2对称，得P(ξ1)＝P(ξ3)＝0.1587，∴P(ξ1)＝1－P(ξ1)＝1－0.1587＝0.8413.11．已知随机变量X～N(2，s2)，若P(Xa)＝0.32，则P(a≤X4－a)＝________.答案：0.36解析：由正态曲线的对称性，可得P(a≤X4－a)＝1－2P(Xa)＝0.36.12．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为23，则此人得分的均值与方差分别为________．答案：20，2003解析：记此人三次射击击中目标X次，得分为Y分，则X～B3，23，Y＝10X，∴E(Y)＝10E(X)＝10×3×23＝20，D(Y)＝100D(X)＝100×3×23×13＝2003.[冲刺名校能力提升练]1．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c[a，b，c∈(0,1)]，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为()A.148B.124C.112D.16答案：D解析：设投篮得分为随机变量X，则X的分布列为X320PabcE(X)＝3a＋2b＝2≥23a×2b，所以ab≤16，当且仅当3a＝2b，即a＝13，b＝12时等号成立．所以ab的最大值为16.2．设离散型随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4，P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)．又E(ξ)＝3，则a＋b＝________.答案：110解析：因为P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝10a＋4b＝1，又E(ξ)＝30a＋10b＝3，解得a＝110，b＝0，所以a＋b＝110.3．为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立了理科、文科两个学习兴趣小组，两组的人数如下表所示.组别性别理科文科男51女33现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从两组中共抽取3名同学进行测试．(1)求从理科组抽取的同学中至少有1名女同学的概率；(2)记ξ为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量ξ的分布列和均值．解：(1)两小组的总人数之比为8∶4＝2∶1，共抽取3人，所以理科组抽取2人，文科组抽取1人．从理科组抽取的同学中至少有1名女同学的情况有：1名男同学、1名女同学，2名女同学，所以所求概率P＝C13C15＋C23C28＝914.(2)由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3，相应的概率分别是P(ξ＝0)＝C23C28×C13C14＝9112，P(ξ＝1)＝C13C15C28×C13C14＋C23C28×1C14＝48112＝37，P(ξ＝2)＝C13C15C28×1C14＋C25C28×C13C14＝45112，P(ξ＝3)＝C25C28×1C14＝10112＝556.所以ξ的分布列为ξ0123P91123745112556E(ξ)＝0×9112＋1×37＋2×45112＋3×556＝32.4.[2018·山东淄博模拟]某茶楼有四类茶饮，假设为顾客准备泡茶工具所需的时间相互独立，且都是整数(单位：分钟)．现统计该茶楼服务员以往为100位顾客准备泡茶工具所需的时间t，结果如表所示.类别铁观音龙井金骏眉大红袍顾客数(人)20304010时间t(分钟/人)2346注：服务员在准备泡茶工具时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．(1)求服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具的概率；(2)用X表示至第4分钟末服务员已准备好了泡茶工具的顾客数，求X的分布列及均值．解：(1)由题意知t的分布列如下：t2346P1531025110设A表示事件“服务员恰好在第6分钟开始准备第三位顾客的泡茶工具”，则事件A对应两种情形：①为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟，且为第二位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟；②为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟，且为第二位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟．所以P(A)＝P(t＝2)·P(t＝3)＋P(t＝3)·P(t＝2)＝15×310＋310×15＝325.(2)X的所有可能取值为0,1,2，X＝0对应为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间超过4分钟，所以P(X＝0)＝P(t＞4)＝P(t＝6)＝110；X＝1对应为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为2分钟且为第二位顾客准备泡茶工具所需的时间超过2分钟，或为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为3分钟，或为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为4分钟，所以P(X＝1)＝P(t＝2)·P(t＞2)＋P(t＝3)＋P(t＝4)＝15×45＋310＋25＝4350；X＝2对应为两位顾客准备泡茶工具所需的时间均为2分钟，所以P(X＝2)＝P(t＝2)·P(t＝2)＝15×15＝125.所以X的分布列为X012P1104350125所以X的均值E(X)＝0×110＋1×4350＋2×125＝4750.5．某电视台拟举行由选手报名参加的选秀节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A，B，C三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛参赛的人数，则优先考虑参加海选测试项目数少的选手进入正赛．甲选手通过A，B，C三个测试项目的概率分别为15，13，12，且通过各个测试相互独立．(1)若甲选手先测试A项目，再测试B项目，后测试C项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？请说明理由；(2)若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p1，第二项能通过的概率为p2，第三项能通过的概率为p3，设他通过海选(假设甲一定能通过海选)时参加测试的项目数为ξ，求ξ的分布列和均值(用p1，p2，p3表示)．解：(1)依题意，甲选手不能通过海选的概率为1－15×1－13×1－12＝415，故甲选手能通过海选的概率为1－415＝1115.若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响，因为无论按什么顺序，其不能通过的概率均为1－15×1－13×1－12＝415，即无论按什么顺序，其能通过海选的概率均为1115.(2)依题意，ξ的所有可能取值为1,2,3.P(ξ＝1)＝p1，P(ξ＝2)＝(1－p1)p2，P(ξ＝3)＝(1－p1)(1－p2)．故ξ的分布列为ξ123Pp1(1－p1)p2(1－p1)(1－p2)E(ξ)＝p1＋2(1－p1)p2＋3(1－p1)(1－p2)＝1＋(2－p2)(1－p1)．