05--第五节--广义积分

第五节广义积分我们前面介绍的定积分有两个最基本的约束条件：积分区间的有限性和被积函数的有界性.但在某些实际问题中,常常需要突破这些约束条件.因此在定积分的计算中,我们也要研究无穷区间上的积分和无界函数的积分.这两类积分通称为广义积分或反常积分,相应地,前面的定积分则称为常义积分或正常积分.分布图示★无穷限的广义积分★无穷限的广义积分几何解释★例1★例2★例3★例4★例5★例6★无界函数的广义积分★例7★例8★例9★例10★例11★例12★例13★内容小结★课堂练习★习题5-5★返回内容要点一、无穷限的广义积分)()(|)()(aFFxFdxxfaa)()(|)()(FbFxFdxxfbb)()(|)()(FFxFdxxf二、无界函数的广义积分babadxxfdxxf)(lim)(0.)(lim)(0babadxxfdxxf例题选讲无穷限的广义积分例1(E01)计算广义积分0dxex.解对任意的,0b有bxdxe0bbxee0)1(be1于是bxbdxe0lim)1(limbbe011因此0dxexbxbdxe0lim1或0dxex0xe)1(0.1例2(E02)判断广义积分0sinxdx的敛散性.解对任意,0bbxdx0sinbx0cos)0(coscosbbcos1因为)cos1(limbb不存在，故由定义知无穷积分0sinxdx发散.例3(E03)计算广义积分21xdx.解21xdx020211xdxxdxbbaaxdxxdx02021lim1limbbaaxx00][arctanlim][arctanlimbabaarctanlimarctanlim22.例4计算广义积分.1sin1/22dxxx解原式211sinxdxbbxdx211sinlimbbx21coslim2cos1coslimbb.1例5(E04)计算广义积分0dttept(p是常数,且0p时收敛).解0dttept01pttdep0011dteptepptpt02011ptpteptep)10(10lim12ptepptt.12p注:其中不定式ptttelimpttetlimpttpe1lim.0例6(E05)讨论广义积分11dxxp的敛散性.证)1(,1p11dxxp11dxx1lnx;)2(,1p11dxxp111pxp1,111,ppp因此，当1p时，题设广义积分收敛，其值为;11p当1p时，题设广义积分发散.无界函数的广义积分例7(E06)计算广义积分).0(022axadxa解原式axadx0220limaax00arcsinlim0arcsinlim0aa.2例8(E07)计算广义积分21lnxxdx.解21lnxxdx210lnlimxxdx210ln)(lnlimxxd210)][ln(lnlimx))]1ln(ln()2[ln(lnlim0.故题设广义积分发散.例9(E08)讨论广义积分101dxxq的敛散性.证)1(,1q101dxxq101dxx10lnx,)2(,1q101dxxq1011qxq1,111,qqq因此，当1q时，广义积分收敛，其值为;11q当1q时，广义积分发散.例10计算广义积分303/21)1(xxdx瑕点.解303/2)1(xdx313/2103/2)1()1(xdxxdx103/2)1(xdx103/1)1(3/211x3，313/2)1(xdx313/1)1(3/211x,233303/2)1(xdx).21(33例11计算广义积分.)1(03xxdx解此题为混合型广义积分，积分上限为,下限0x为被积函数的瑕点.令,tx则,2tx0x时，,0tx时，,t于是03)1(xxdx02/32)1(2tttdt.)1(202/32tdt再令,tanut取,arctantu0t时,0ut时,2u于是03)1(xxdx2032secsec2uudu20cos2udu.2注:本题若采用变换tx11等，计算会更简单,请读者自行解之.例12(E09)计算广义积分10)1(arcsindxxxx.解被积函数有两个可疑的瑕点:0x和.1x因为1)1(arcsinlim0xxxx所以,1x是被积函数的唯一瑕点.从而10)1(arcsindxxxx10)1(arcsindxxxx102)(arcsinx.42例13计算.11105xxxdx解分母的阶数较高，可利用到代换，令,1tx则11051xxxdx0110541dtttt1010541ttdtt再令,5tu则1010541ttdtt102151uudu102432151udu102121ln51uuu.321ln51课堂练习1.计算广义积分122)1(lndxxxx;2.判断广义积分101lndxxx的瑕点.