第二讲--模糊集合及其运算

第二讲第二讲模糊集合及其运算模糊集合及其运算2013/2/261OUTLINEnn一、普通集合及其特征函数一、普通集合及其特征函数nn二、隶属函数与模糊集合二、隶属函数与模糊集合nn三、模糊集合的运算三、模糊集合的运算nn四、模糊集合的性质四、模糊集合的性质nn五、模糊截集五、模糊截集nn六、分解定理六、分解定理nn七、表现定理七、表现定理nn八、模糊集的模糊度八、模糊集的模糊度nn课堂练习课堂练习2013/2/262一、普通集合及其特征函数19世纪末,康托(Cantor)首创集合论,并迅速渗透到各个数学分支,成为基础数学.康托对集合的定义：把一定的并且彼此可以明确识别的东西(可以是直接的对象,也可以是思维的对象)放在一起,称为集合.普通集合常用的两种表示方法：v穷举法：例如，S={小学生,中学生,大学生,研究生}表示“学生”集合.v特征描述法：例如A={x|x0,且x为实数}.2013/2/263有关概念和定义：论域：被讨论对象的全体组成的集合称为论域。包含：A⊆B：对于任意x∈A,必有y∈B.空集：若对于任意集合A,都有Φ⊆A,则称Φ是任意集合A的空集.幂集：设U是论域，U的所有子集所组成的集合称为U的幂集，记为P(U).例如,U={a,b,c},则P(U)={Φ,{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}}并集：A与B的并集定义为交集：A与B的交集定义为差集：A与B的差集定义为补集：设U是论域，A对U的补集为等于：集合A和B相等A=B：2013/2/264BA⊆AB⊆}且|{BxAxx∉∈=-BA}|{BxAxx∈∈或=BAU}|{BxAxx∈∈且=BAI}且,,|{AxUxxAUAC∉∈=-=集合的运算规律1、交换律2、结合律3、吸收律4、幂等律5、分配律6、复原律7、互补律8、0—1律9、De.Morgan律2013/2/265AAAAAA==IU,ABBAABBAIIUU==,CBACBACBACBAIIIIUUUU)()(,)()(==AABAAABA==UIIU)(,)()()()()()()(CBCACBACBCACBAUIUUIIUIIU==AAcc=)(Φ=Φ==Φ=IIUUAAUAAAUUA,,ccccccBABABABAUIIU==)(,)(Φ==CCAAUAAIU,特征函数特征函数CA(u)表示论域U中的元素u是否属于U的子集A.若u∈A,则CA(u)=1;若u∉A,则CA(u)=0.显然,特征函数是论域U到{0,1}的一个映射.例如,设U自然数组成的集合,A={1,2,3},则A的特征函数为2013/2/266⎩⎨⎧==.当,0;3,2,1,1)(为其它自然数时时当uuuCA)(uA显然,只要给出论域U的一个子集A,就唯一地确定一个A的特征函数;反过来,给出U中一个特征函数CA(u),也就唯一地确定了U的一个子集.从这个意义上讲,“子集就是特征函数”.当U为实数集合时,子集A的特征函数如图所示.二、隶属函数与模糊集合n实际生活中有些概念并非清晰概念,例如鲜美的食品、美丽的景色、魁梧的身材、漂亮的服装、高个子…等等.对于这些概念,普通集合就无能为力.2013/2/267n集合可以表示概念。一个概念的外延就是一个普通集合。用普通集合表示一个概念，就是应用集合指出概念的外延。这种能用普通集合明确表示其外延的概念是清晰概念。n一个清晰概念，要么属于某个集合，要么不属于这个集合，二者必居其一。例如人这个概念，就是一个清晰的概念，一个动物，要么属于人的集合，要么不属于人的集合。不会有第三种情况。定义1：设U为论域，U在闭区间[0,1]上的任一映射A→[0,1]称为U上的隶属函数。对于任意的xÎU，隶属函数值A(x)称为x对A的隶属度。A为论域U上的模糊集合。2013/2/268⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛--≤≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛-=xxxxxxxA80.1,180.170.1,2.080.12170.160.1,2.060.1260.1,0)(22例如，用A表示“高个子男人”的模糊集合，并假定身高1.80m以上的男人为高个子,1.60m以下的男人都不是高个子。用x表示男人的身高,其隶属函数可以为:已知m，m，m，则有，，。于是采用扎德记号表示的模糊子集为：注：扎德记号不是分式求和，只是一种记号而已。其中“分母”是论域U的元素，“分子”是相应元素的隶属度。2013/2/26965.11=x70.12=x75.12=x125.0)(1=xA50.0)(2=xA875.0)(3=xA1230.1250.500.875Axxx=++模糊集合的表示一般情况}|))(,{(UuuAuA∈=U有限或可数∑∑==iiiiuuAuuAA)(/)(U无限不可数∫=uuAA/)(2013/2/2610例3设U={1,2,3,4,5,6},A表示“靠近4”的数集,则A∈F(U),各数属于A的程度A(ui)如下u123456A(u)00.20.810.80.2则A可用不同方法表示为：00.20810.8221234560.20810.8223456A=+++++=++++.（）.1{(1,0),(2,0.2),(3,0.8),(4,1),(5,0.8),(6,0.2)}{(2,0.2),(3,0.8),(4,1),(5,0.8),(6,0.2)}A==（）3(0,0.2,0.8,1,0.8,0.2)A=（）2013/2/2611例4设论域为实数R，则A表示“靠近4”的数集,则A∈F(U),它的隶属函数为：2(4)|4|()0|4|kxexAxxdd--⎧-⎪=⎨-≥⎪⎩例5设论域为实数R，则A表示“比4大得多的数”,则它的隶属函数为：2141001()(4)04xAxxx⎧⎪⎪+=⎨-⎪≤⎪⎩三、模糊集合的运算普通的集合运算，是由特征函数描述的。由于隶属函数是特征函数的推广，所以模糊集合的运算自然可由隶属函数描述。设A、B、C、D为论域U上的模糊子集，则有如下定义：v若对于任意的，有，则称B包含A。记为。v若，而且，则称A与B相等。记为A=B。2013/2/2612Ux∈)()(xBxA≤BA⊆BA⊆AB⊆显然，包含关系⊆是模糊幂集F(U)上的二元关系，具有如下性质：(1);(2),;(3),.AAABBAABABBCAC⊆⊆⊆⇒=⊆⊆⇒⊆自反性反对称性传递性应此，(F(U),⊆)是偏序集.若对于任意的x∈U,有则称C为A和B的并集。记为。符号为“取大”运算。2013/2/2613)()()}(),(max{)(xBxAxBxAxC∨==BACU=∨若对于任意的，有则称D为A和B的交集。记为。符号为“取小”运算。若对于任意的，有则称为A的余集（或补集）。Ux∈)()()}(),(min{)(xBxAxBxAxD∧==BADI=∧Ux∈)(1)(cxAxA-=2013/2/26142013/2/2615例1设U={u1,u2,u3,u4,u5},12340.20.710.5,Auuuu=+++12350.50.30.10.7,Buuuu=+++12345123450.20.50.70.31000.10.50.70.50.710.10.7ABuuuuuuuuuu∨∨∨∨∨=++++=++++U123451250.20.50.70.31000.10.50.70.20.30.5ABuuuuuuuu∧∧∧∧∧=++++=++I那么2013/2/2616一般地，模糊集A和B的交并和余的计算，按论域U为有限和无限分为两种表示111111()()(1){,...},,()()()()1-()nnkknkkkknnnCkkkkkkkkkkkAuBuUuuABuuAuBuAuBuAuABABAuuu========∨∧∪=∩==∑∑∑∑∑设论域且则，，()()(2),,()()()()1()uUuUCuUuUuUAuBuUABuuAuBuAuBuAuABABAuuu∈∈∈∈∈==∨∧-∪=∩==∫∫∫∫∫设论域为无限集且则，，2013/2/2617212120050(),50[1()]5010051025()25[1()]251005ABuAuuuuBuuu---≤≤⎧⎪=-⎨+≤⎪⎩≤≤⎧⎪=-⎨+≤⎪⎩例设模糊集和的隶属函数为**2121025251002550[1()][1()]()()155uUuuuuuuuAuBuABuuuu---∈≤≤≤≤--++∨==++∫∫∫∫U**2121501005025[1()][1()]()()55uUuuuuuuAuBuABuuu--∈≤≤--++∧==+∫∫∫I2105050100501[1()]1()15CuUuuuAuAuuu--∈≤≤≤--+-==+∫∫∫n两个模糊子集的交并运算还可以推广到任意多个模糊集合的情形。2013/2/26183(),,.,()()()sup();()()()inf().tttttTtTtTttttTtTtTtttTtttTtTtTAFUtTTuUAuAuAuAuAuAuAAAA∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∀∈=∨==∧=UIUI定义设是指标集规定称为{}的并集，为{}的交集，显然都是U上模糊集.四、模糊集合的性质模糊集合的运算满足下列性质:(F(U),∪,∩,C)1、幂等律：2、交换律：3、结合律：4、分配律：5、吸收律：6、复原律：7、对偶律：8、0–1律：2013/2/2619AAAAAA==IU,ABBAABBAIIUU==,CBACBACBACBAIIIIUUUU)()(,)()(==)()()()()()(CBCACBACBCACBAUIUUIIUIIU==AABAAABA==UIIU)(,)(AAcc=)(ccccccBABABABAUIIU==)(,)(Φ=Φ==Φ=IIUUAAUAAAUUA,,例如，模糊集合例如，模糊集合A=A=（（0.20.2，，0.70.7），则），则==（（0.80.8，，0.30.3）。于是）。于是特别地，当模糊集合特别地，当模糊集合A=A=(0.5,0.5),(0.5,0.5),则则=(1=(1--0.5,10.5,1--0.5)=(0.5,0.5).0.5)=(0.5,0.5).这表明在模糊集合中存在其补集这表明在模糊集合中存在其补集等于自己的集合。这在普通集合中是不可思议的。等于自己的集合。这在普通集合中是不可思议的。但却正好反映了实际工作中但却正好反映了实际工作中““亦此亦彼亦此亦彼””的现象。模的现象。模糊集合的这一特点，在模糊信息处理中具有重要意糊集合的这一特点，在模糊信息处理中具有重要意义。模糊集合的这一特点使得模糊信息处理的结果义。模糊集合的这一特点使得模糊信息处理的结果更符合实际。更符合实际。2013/2/2620cAΦ≠=∧∧=≠=∨∨=)3.0,2.0()3.07.0,8.02.0()7.0,8.0()3.07.0,8.02.0(ccAAUAAIUcA值得注意的是，模糊集合不满足普通集合中的补余律Φ==ccAAUAAIU,1.-(-cut)ll截集引例：东汉西汉秦战国春秋西周商夏奴隶社会/1.0/3.0/4.0/5.0/7.0/9.0/1/1+++++++=若要求至少应达到0.5水平，则有夏、商、西周、春秋、战国若要求至少应达到0.7水平，则有夏、商、西周、春秋五、模糊截集定义：(),[0,1],XAFXl∈∈设是论域，{|()}AxAxAlll=≥-称为的截集；{|()}AxAxAlll•=-称为的强截集；.AAll•⊆显然，lAlXlAlXlAlXlAlXλ截集的特征函数.)ker(),ker((})(|{})(|{11kernel)11AAAAxAxxAxA===³=即记为的核称为1{|()1},AxAx•==Φ特殊截集与强截集：.)(),((})(|{··==00suppsuppsupport)0AAAAxAxA即记为的支集称为00,})(|{XxAxA=³=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈--∈--=其它0],[],[)(cbxcbcxb