4.1复级数的基本性质

上页下页铃结束返回首页第四章解析函数的幂级数表示法级数是研究解析函数的一个重要工具。把解析函数表示为级数不仅有理论上的意义，而且也有实用价值。例如它是逼近理论的基础，是进行近似计算的一种有用的工具.在许多带有应用性质的问题中（如解微分方程等）常常用到级数.上页下页铃结束返回首页§4.1复级数的基本性质2、复数项级数3、复函数项级数4、解析函数项级数1、复数列的极限上页下页铃结束返回首页1、复数列的极限1.1定义0,如任意给定相应地都能找到一个正整(),,nNnN数使在时:成立,}{时的极限当称为复数列那末nn记作.limnn..}{否则称为发散收敛于此时也称复数列n,),2,1(}{其中为一复数列设nn,nnniba,为一确定的复数又设iba上页下页铃结束返回首页问题1：1.2复数列收敛的条件关系？的实数与)的1,2,(nba复数nnnnn敛散性有何与列敛散性列bai{}{}(1,2,)nnnaibnaib定理复数列收敛于的充要条件是lim,lim.nnnnaabb上页下页铃结束返回首页1.2复数列收敛的条件{}{}(1,2,)nnnaibnaib定理复数列收敛于的充要条件是lim,lim.nnnnaabb,limnn如果那末对于任意给定的0就能找到一个正数N,,时当Nn,)()(ibaibann证,)()(bbiaaaannn从而有.limaann所以.limbbnn同理上页下页铃结束返回首页.2,2bbaann反之,如果,lim,limbbaannnn,时那末当Nn从而)()(ibaibannn)()(bbiaann.limnn所以,bbaann上页下页铃结束返回首页注2:该定理的等价命题可证明复数列的发散,即如果两个实数列至少有一个不收敛,则该复数列发散.注1:定理说明:可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性.两个实数列相应项之和、差、积、商所成数列的结果可以推广到复数数列.注3:上页下页铃结束返回首页定理：复数列收敛的Cauchy准则{}(1,2,)nn复数列收敛的充要条件是:0:NnNpN,0,当时,对||npn从而,2,2,,,0,limpnnnnNpNnNN时，有由复数列极限的定义，设证||npnnpn上页下页铃结束返回首页0:由条件知：,0,当时,对NnNpN||.npn,,,npnnpnnpnnpnnnnbbaaiba则而由实数列的柯西收敛准则知，序列.1,lim,lim,ibabbaabannnnnnn收敛于知：由定理必存在极限。设上页下页铃结束返回首页2.1定义{}{}(1,2,),nnnaibn设为一复数列121(4.1)nnn表达式称为复数项级数.nns21称为级数的部分和.部分和：若部分和数列{sn}(n=1,2,…,)以有限复数s为极限,lim()nnss2、复数项级数即上页下页铃结束返回首页2.2收敛与发散（敛散性）注：与实数项级数相同,复数项级数的敛散性转化为部分和数列的敛散性:limnnss即求极限是否有限.1nns则称复数项无穷级数(4.1)收敛于s,且称s为(4.1)的和,写成否则若复数列sn(n=1,2,…,)无有限极限,则称级数(4.1)为发散.上页下页铃结束返回首页问题2：2.3复数项级数收敛的条件关系？的与实)的ba(复级数1n1nnnnn1nn敛散性有何与级数敛散性bain上页下页铃结束返回首页定理4.1设n=an+ibn(n=1,2,…),an及bn为实数,则复级数(4.1)收敛于s=a+ib(a,b为实数)的充要条件为:11,nnnnab分别收敛于a及b.2.3复数项级数收敛的条件实数项级数注：该定理的说明复数项级数的审敛问题可转化为实数项级数的审敛问题111),nnnnab分别收敛于a及b1()nnsaib112),nnnnab至少一个发散1nn发散11nnnnba收敛的必要条件是和因为实数项级数.0lim0limnnnnba和0limnn必要条件重要结论:.0lim1发散级数nnnn收敛的必要条件是所以复数项级数1nn上页下页铃结束返回首页)1(11是否收敛？级数nnin解;111发散因为nnnna.1121收敛nnnnb例1、所以原级数发散上页下页铃结束返回首页问题2：复级数是否有Cauchy收敛的准则？{}(1,2,)nn复数列收敛的充要条件是:0:NnNpN,0,当时,对||npn定理：复数列收敛的Cauchy准则上页下页铃结束返回首页定理4.2(Cauchy准则)复级数(4.1)收敛的充要条件为:对任给ε0,存在正整数N(ε),当nN且p为任何正整数时推论2收敛级数的各项必是有界的.推论1收敛级数的通项必趋于零:lim0nn(事实上，取p=1,则必有|an+1|ε)，常用其等价命题：lim0lim或nnnn不存在，则级数(4.1)发散推论3若级数(4.1)中略去有限个项,则所得级数与原级数同为收敛或同为发散.12.nnnp上页下页铃结束返回首页问题3:是否收敛？收敛，问复级数已知复级数11nnnn上页下页铃结束返回首页定理4.3复级数(4.1)收敛的一个充分条件为级数收敛.1||nna2.4绝对收敛与条件收敛证由于pnnnpnnnaaaaaa2121注:由定理4.3知:绝对收敛级数必收敛.或有如下证明:证由于,1221nnnnnba而,,2222nnnnnnbabbaa根据实数项级数的比较准则,知,11都收敛及nnnnba.11也都收敛及故nnnnba由定理4.1可得.1是收敛的nn,11nkknkk又由nkknnkkn11limlim可知[证毕].11kkkk或非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.说明,22nnnnbaba由,11122nkknkknkkkbaba知如果收敛,那末称级数为绝对收敛.1nn1nn定义.111绝对收敛与绝对收敛nnnnnnba,11绝对收敛时与nnnnba所以.1绝对收敛也nn综上:.111绝对收敛与绝对收敛nnnnnnba,11绝对收敛时与nnnnba所以.1绝对收敛也nn综上:0limnn重要结论:.0lim1发散级数nnnn启示:判别级数的敛散性时,可先考察0limnn?,0limnn如果级数发散;,0limnn应进一步判断.上页下页铃结束返回首页正项级数判别法返回比较判别法、比式判别法和根式判别法交错级数判别法一般项级数判别法返回后页前页nnuv设和是两个正项定理(比较原则)级数,如果存在某正数N,对一切nN都有(1)nnuv则(i),;nnvu若级数收敛则级数也收敛(ii),.nnuv若级数发散则级数也发散返回后页前页定理1(比式判别法的极限形式)若nu为正项级数，且1lim,(7)nnnuqu则(i)1,;nqu当时级数收敛(ii)1,.nqqu当或时级数发散返回后页前页lim,(11)nnnul(i)1,;nlu当时级数收敛(ii)1,.nlu当时级数发散则定理2(根式判别法的极限形式)设nu为正项级数,且返回后页前页交错级数11234(1)(1)nnuuuuu(0,1,2,),nun若级数的各项符号正负相间,即则称为交错级数.定理(莱布尼茨判别法)若交错级数(1)满足:(i){};nu数列单调递减(ii)lim0,nnu则级数(1)收敛.上页下页铃结束返回首页例21112是否收敛？级数nnni解级数满足必要条件,,01lim12ninn即但1112)1(11nnnnnini)31211()31211(i,11发散级数因为nn.原级数仍发散,1)1(1收敛虽nnn11nn11)1(nnni上页下页铃结束返回首页!)8(1是否绝对收敛？级数nnni例3,!81收敛nnn故原级数收敛,且为绝对收敛.,!8!)8(nninn因为所以由正项级数的比值判别法知:解四、小结与思考通过本课的学习,应了解复数列的极限概念;熟悉复数列收敛及复数项级数收敛与绝对收敛的充要条件;理解复数项级数收敛、发散、绝对收敛与条件收敛的概念与性质.思考题:,11问均发散和如果复数项级数nnnn?)(1也发散吗级数nnn思考题答案否.放映结束，按Esc退出.上页下页铃结束返回首页定理4.4(1)一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序,而不改变其绝对收敛性,亦不改变其和.(2)两个绝对收敛的复级数s=a1+a2+…+an+…s/=a1/+a2/+…+an/+…可按右图所示的对角线法（Cauchy乘积）''''''''''''332313332221223121111321aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa得出乘积级数a1a1＇+(a1a2＇+a2a1＇)+…+(a1an＇+a2an-1＇+…+ana1＇)+…它收敛于ss＇.该定理证明见余家荣编的教材《复变函数》上页下页铃结束返回首页3.1定义4.3设复变函数项级数f1(z)+f2(z)+f3(z)+…+fn(z)+…(4.2)的各项均在点集E上有定义,且在E上存在一个函数f(z),对于E上的每一点z,级数4.2均收敛于f(z),则称f(z)为级数(4.2)的和函数,记为:1()()nnfzfz3、复函数项级数用ε—N的说法来描述这件事就是:n1knnn).(f(z)s:中ε,|(z)s-f(z)|有,时Nn使当z),,N(=N存在正整数E,∈z以及给,0任给z其定1zzsnn11lim级数0nnz收敛,1z0limnnz级数0nnz发散.且有.1112nzzzz)1(,11112zzzzzzsnnn级数的部分和为解的收敛范围与和函数.nnnzzzz201例1求级数上页下页铃结束返回首页定义4.4对于级数(4.2),如果在点集E上有一个函数f(z),使对任给的ε0,存在正整数N=N(),当nN时,对一切的z∈E均有|f(z)-sn(z)|ε,则称级数(4.2)在E上一致收敛于f(z).记作:1()()zEnnfzfz写出级数(4.2)在E上不一致收敛的定义.上页下页铃结束返回首页定理4.5(柯西一致收敛准则)级数(4.2)在点集E上一致收敛于某函数的充要条件是:任给的ε0,存在正整数N=N(ε),使当nN时,对于一切z∈E,均有|fn+1(z)+…+fn+p(z)|ε(p=1,2,…).写出柯西一致收敛准则的