4.3-解析函数的泰勒展式

上页下页铃结束返回首页§4.3解析函数的泰勒展式1、泰勒(Taylor)定理2、幂级数和函数在收敛圆周上的状况3、一些初等函数的泰勒展式上页下页铃结束返回首页问题的引入前面我们证明了:一个收敛半径为正的幂级数，在其收敛圆内收敛于一个解析函数。反之，是否成立？任一个解析函数能用幂级数来表示，即有下面我们证明其逆也真。上页下页铃结束返回首页(4.9)D定理4.14(泰勒定理)设f(z)在区域D内解析,a∈D,只要K:|z-a|R含于D,则f(z)在K内能展成如下幂级数0()()nnnfzcza(4.8)其中系数()11()()2()!nnnpffacdian(:||,0;0,1,2,)aRn且展式是唯一的.1、泰勒(Taylor)定理上页下页铃结束返回首页证:关键是利用柯西积分公式及如下熟知的公式:011nnuu(|u|1).(4.10)总有一个圆周:𝛤𝜌:|𝜻−𝑎|=𝜌(0𝜌𝑅),使点z含在中虚线表).由柯西积分公式得𝜞𝝆图4.1的内部(图4.1∀𝑧∈𝐾𝜞𝝆(2)1()pziffzd上页下页铃结束返回首页()1()2pfzdfiz表示为一个含有z-a的正幂次级数.为此改写：()()()()11fffzzaaaaaz(4.11)我们设法将被积式:由p时,由于|,|1zazaa上页下页铃结束返回首页应用公式(4.10),我们有0,1()1nnzazaaapp()fa右端的级数在上(关于)是一致收敛的.以上的有界函数相乘,仍然得到上的一致收敛级数.于是(4.11)表示为上一致收敛级数pp01()(,))(()nnnfafzaa上页下页铃结束返回首页得即根据逐项积分定理乘是所得结果积分，并以将上式沿,.21ip()1()2pfzdfiz10(),1()2nnpnzaifda由定理3.13知()11()(),2()!nnpffadian最后得出0.)()(nnnazczf其中的系数cn由公式(4.9)给出.上面证明对于任意z∈均成立,故定理的前半部分得证.上页下页铃结束返回首页下面证明展式是唯一的.设另有展式).|:|()(')(RazKzazczfnn由定理4.13(3)即知nnncnafc!)(')((n=0,1,2,…),故展式是唯一的.注1定义4.6(4.8)称为f(z)在点a的泰勒展式,(4.9)称为其泰勒系数,而(4.8)右边的级数,则称为泰勒级数.上页下页铃结束返回首页注（2）由第三章的柯西不等式知若f(z)在|z-a|R内解析,则其泰勒系数cn满足柯西不等式max()||(0,0,1,2,).zannfzcRn定理4.15f(z)在区域D内解析的充要条件为:f(z)在D内任一点a的邻域内可展成z-a的幂级数,即泰勒级数.注（3）刻画解析函数的又一等价命题上页下页铃结束返回首页定理4.16如果幂级数0)(nnnazc的收敛半径R0,且)|:|(,)()(0RazKzazczfnnn则f(z)在收敛圆周C:|z-a|=R上至少有一奇点,即不可能有这样的函数F(z)存在,它在|z-a|R内与f(z)恒等,而在C上处处解析.证假若这样的F(z)存在,这时C上的每一点就都是某圆O的中心,而在圆O内F(z)是解析的.z1a2、幂级数和函数在收敛圆周上的状况上页下页铃结束返回首页0()nnnczaK/:|z-a|R+ρ内是解析的.于是F(z)在K/可开为泰勒级数.但因在|z-a|R中F(z)恒等于f(z),故在z=a处它们以及各阶导数有相同的值。因此级数也是F(z)的泰勒级数而它的收敛半径不会小于R+ρ,这与假设矛盾.根据有限覆盖定理,我们就可以在这些圆O中选取有限个将圆O覆盖了.这有限个圆将构成一个区域G,用ρ0表示C到G的边界的距离(参看第三章定理3.3注).于是F(z)在较圆K大的同心圆z1z2z3z2z5z2z6z8z9z10a上页下页铃结束返回首页注(1)纵使幂级数在其收敛圆周上处处收敛,其和函数在收敛圆周上仍然至少有一个奇点.232222()123nzzzzfzn21()123nzzzfzn(2)这个定理,一方面建立了幂级数的收敛半径与此幂级数所代表的函数的性质之间的密切关系;同时还表明幂级数的理论只有在复数域内才弄的完全明白.2462111xxxx上页下页铃结束返回首页三、将函数展开成泰勒级数常用方法:直接法和间接法.1.直接法:,2,1,0,)(!10)(nzfncnn.)(0展开成幂级数在将函数zzf由泰勒展开定理计算系数例如，.0的泰勒展开式在求zez),2,1,0(,1)(0)(neznz故有02!!!21nnnznznzzze,在复平面内处处解析因为ze.R所以级数的收敛半径,)()(znzee因为上页下页铃结束返回首页仿照上例,,)!12()1(!5!3sin1253nzzzzznn)(R,)!2()1(!4!21cos242nzzzznn)(R.0cossin的泰勒展开式在与可得zzz上页下页铃结束返回首页例2求Ln(1+z)的下列解析分支在z=0的泰勒展式解：已给解析分支在z=0的值为0，它在z=0的一阶导数为1，二阶导数为-1，n阶导数为ln(1+𝑧)=ln|1+𝑧+𝑖arg(1+𝑧(−𝜋arg(1+𝑧)𝜋)(−1)𝑛(𝑛−1)!求多值函数𝐿𝑛(1+𝑧)以𝑧=−1，∞为支点的各分支的展式为(ln(1+𝑧))𝑘=2𝑘𝜋𝑖+𝑧−𝑧22+𝑧33+⋯+(−1)𝑛−1𝑧𝑛𝑛+⋯(𝑧1;𝑘=0,±1,±2,⋯)因此，它在z=0或在|z|1的泰勒展式是：其收敛半径1。...)1(...32)1ln(132nzzzzznn从而上页下页铃结束返回首页附:常见函数的泰勒展开式,!!!21)102nnnznznzzze,111)202nnnzzzzz,)1()1(111)302nnnnnzzzzz,)!12()1(!5!3sin)41253nzzzzznn)1(z)1(z)(z)(z上页下页铃结束返回首页,)!2()1(!4!21cos)5242nzzzznn)(z,1)1(32)1ln()6132nzzzzznn011)1(nnnnz)1(z32!3)2)(1(!2)1(1)1()7zzzz,!)1()1(nznn)1(z上页下页铃结束返回首页2.间接展开法:借助于一些已知函数的展开式,结合解析函数的性质,幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等),求函数的泰勒展开式.间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直接展开更为简洁,使用范围也更为广泛.上页下页铃结束返回首页（1）利用已知级数求展式.0sin的泰勒展开式在利用间接展开法求zz)(21sinizizeeizznznnn,)!12()1(01200!)(!)(21nnnnniznizi四、典型例题例1同理可求𝐜os𝑧在𝑧=0的泰勒展开式. )(21cosizizeezznznnn02)!2()1(00!)(!)(21nnnnnizniz上页下页铃结束返回首页例2.cos2的幂级数求z解),2cos1(21cos2zz因为!6)2(!4)2(!2)2(12cos642zzzzzzzz!62!42!221664422)2cos1(21cos2zz所以zzzz!62!42!22165432上页下页铃结束返回首页例3.231)(的幂级数展开成把函数zzzf解231121231zz])23()23(231[212nzzz1322223232321nnnzzz,2301nnnnz.32,123zz即1,110zzznn重要结论：几何级数上页下页铃结束返回首页1,11)1(0zzznnn重要结论：几何级数.12)(其收敛范围的幂级数展开，并指出按试将函数zzzzf例4上页下页铃结束返回首页例5.)1(12的幂级数展开成把函数zz解nnzzzz)1(11121z,11)1(12zzz上有一奇点在由于,1内处处解析且在z,的幂级数可展开成z（2）逐项求导法zz11)1(12.1,)1(321112znzzznn上式两边逐项求导,上页下页铃结束返回首页例6.0arctan的幂级数展开式在求zz解,1darctan02zzzz因为1,)()1(11022zzznnn且zzzz021darctan所以znnnzz002d)()1(.1,12)1(012znznnn（3）逐项求积法上页下页铃结束返回首页（4）利用级数的乘法（或柯西乘积）.1展为麦克劳林级数将zez例7上页下页铃结束返回首页例7.1展为麦克劳林级数将zez解,1)(zezfz令即微分方程0)()()1(zzfzfz对微分方程逐次求导得:,1所以收敛半径为,1内进行展开可在z,11zzez的唯一奇点为因为求导得对)(zf,1)(zzezfz（4）利用级数的乘法（或柯西乘积）上页下页铃结束返回首页,2)0(,1)0(,0)0(,1)0(ffff得由的麦克劳林级数为所以)(zf.1,31211132zzzzez0)()()1()()1(zfzfzzfz0)()2()()1(zfzzfz上页下页铃结束返回首页五、小结与思考通过本课的学习,应理解泰勒展开定理,熟记五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成泰勒级数的方法,能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数.上页下页铃结束返回首页231(||)2!3!!nzzzzezzn);|(|,)!2()1(cos02Znzznnn).|(|,)!12()1(sin012znzznnn.)1(322)1(ln132nzzzzikznnk一些初等函数的泰勒展式2!2)1(1)1(zzznznn!)1()1(上页下页铃结束返回首页奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题奇函数的泰勒级数只含z的奇次幂项,偶函数的泰勒级数只含z的偶次幂项.思考题答案