5.2-解析函数的孤立奇点

上页下页铃结束返回首页§5.2解析函数的孤立奇点1、孤立奇点的分类2、孤立奇点的性质3、Schwarz引理4、Picard定理上页下页铃结束返回首页定义5.2如果f(z)在点a的某一去心邻域K-{a}:0|z-a|R(即除去圆心a的某圆)内解析,点a是f(z)的奇点(见定义2.3),则称a为f(z)的孤立奇点.1、孤立奇点的分类.)()()()(01nnnnnnnnnazcazcazczf0nnnazc)(如a为f(z)的孤立奇点,则f(z)在a的某去心邻域K-{a}内可以展成罗朗级数则称为f(z)在点a的正则部分(解析部分)1nnnazc)(为f(z)在点a的主要部分.而称上页下页铃结束返回首页(1)如果f(z)在点a的主要部分为零,则称a为f(z)的可去奇点.则称a为f(z)的m阶(级)极点.一级极点也称为简单极点.设为),0()()(11)1(mmmmmcazcazcazc定义5.3设a为f(z)的孤立奇点.(2)如果f(z)在点a的主要部分为有限多项,(3)如果f(z)在点a的主要部分有无限多项,则称a为f(z)的本性奇点.上页下页铃结束返回首页定理5.3a为f(z)的可去奇点，则以下三条等价lim()();zafzb®=攻2、孤立奇点的特征),||()()(Razazcczf010(2)(1)f(z)在点a的主要部分为零;(3)f(z)在点a的某去心邻域内有界.证只需证(1)(2);(2)(3);(3)(1)(1)推出(2)：由(1)知于是).()(lim0czfaz2.1.可去奇点上页下页铃结束返回首页(2)推出(3):即例1.27.|f(z)|≤M(M0).考虑f(z)在点a的主要部分,)()(nnazcazcazc221(3)推出(1):设当a∈K-{a}＝{z|0|z-a|a}时𝑐−𝑛=12𝜋𝑖𝑓(𝑧)(𝑧−𝑎)−𝑛+1Γ𝑑𝑧(𝑛=0,1,2,⋅⋅⋅),Γ:𝑧−𝑎=𝜌(0𝜌𝑅)111()122()20(0,1,2,)prpprrr--+-++=Ｗ?-ònnnnfzMcdzizaMnG0nc注：a为可去奇点时，补充f(z)=c0,则a就成为f(z)的解析点了。上页下页铃结束返回首页2.2极点的特征);()(01mmmcazcazc定理5.4如果f(z)以a为孤立点,则a为f(z)的m阶极点(1)f(z)在a点的主要部分为(2)f(z)在点a的某去心邻域内能表成其中λ(z)在点a邻域内解析,且λ(a)≠0mazzzf)()()(1(3)()()gzfz以a为m阶零点(可去奇点a要当作解析点看,只要令g(a)=0).上页下页铃结束返回首页azcazcazczfmmmm111)()()()()(10azcc,)()()()()(mmmmazzazazcc1证(1)(2):设在点a的某去心邻域内有其中：.)(0mca)()()(azcczmm1显然在点a的邻域内解析,且上页下页铃结束返回首页(2)(3):设在点a的某去心邻域内有),()()()()()(zazzazzfzgmm1)()(zz10)(a其中在点a的某去心邻域内解析,且因此a为g(z)的可去奇点,作为解析点来看,只要令g(a)=0,a就为g(z)的m级零点.)()(zfzg1)()()(zazzgm(3)(1):如果以点a为m级零点,则在点a的某邻域内其中在此邻域内解析,且.这样一来)(z0)(a.)()()(zazzfm11上页下页铃结束返回首页)()()(azcczmm11因1/(z)在点a某邻域内解析(例1.28),则可展成泰勒级数，设为：于是f(z)在点a的主要部分就是).)(()()()(01111acazcazcazcmmmmm定理5.5f(z)的孤立奇点a为极点的充要条件是)(limzfaz上页下页铃结束返回首页例2求函数223(5)sin()(1)(1)zzfzzzz-=-+的所有有限奇点，并确定他们的类型.求下列函数例11sin(1)();(2)().zezfzfzzzp-==-的所有有限奇点，并确定他们的类型.上页下页铃结束返回首页.)(lim)()(lim不存在，即有限数广义zfbzfazaz定理5.6f(z)的孤立奇点a为本性奇点2.3本性奇点的特征证明：(反证法)若a不是f(z)的本性奇点a是f(z)的可去奇点a是f(z)的极点)()(limbzfaz)(limzfaz.)(lim存在广义若zfazbzfaz)(lima是f(z)的可去奇点a是f(z)的极点上页下页铃结束返回首页的本性奇点1不是若)()(azfz定理5.7若z=a为f(z)之一本性奇点,且在点a的充分小去心邻域内不为零,则z=a亦必为)(zf1的本性奇点.证（反证法）①若z=a为(z)的可去奇点(解析点),都与假设矛盾②若z=a为(z)的极点a为f(z)的可去奇点)()(limbzaz00bba为f(z)的可去奇点a为f(z)的极点)(limzaz0)(limzfaz上页下页铃结束返回首页例5.8：0是函数的本性奇点，不难看出不存在。ze1zze10lim解：当z沿正实轴趋近于0时，趋近于ze1;当z沿负实轴趋近于0时，趋近于0；ze1当z沿虚轴趋近于0时，极限不存在。ze1上页下页铃结束返回首页142020/4/13奇点孤立奇点非孤立奇点支点可去奇点极点本性奇点（单值函数的）（多值函数的）注：就本书所遇到的奇点情况来看，可以列表如下：上页下页铃结束返回首页席瓦尔兹(Schwarz)引理如果函数f(z)在单位圆|z|1内解析,并且满足条件f(0)=0,|f(z)|1(|z|1),则在单位圆|z|1内恒有|f(z)|≤|z|,)且有|f‘(0)|≤1.3、Schwarz引理如果上式等号成立,或在圆|z|1内一点z0≠0处前一式等号成立,则(当且仅当)其中α为一实常数.),|(|)(1zzezfi上页下页铃结束返回首页.)(limAzfnazn定理5.8如果a为f(z)的本性奇点,则对于任何常数A,不管它是有限数还是无穷,都有一个收敛于a的点列{zn},使得4、Picard(毕卡)定理证(1)在A＝∞的情形,定理是正确的.因为函数f(z)的模在a的任何去心邻域内都是无界的.否则,a必为f(z)的可去奇点Weierstrass定理上页下页铃结束返回首页.)(limAzfnazn.A(2)现在设Azfz)()(1.这样,由定理5.7,函数.)(limnazzgn在K-{a}内解析,且以a为本性奇点(因a为f(z)的本性奇由此推出可能有这种情形发生,在点a的任意小的邻域内有这样一点z存在,使f(z)=A.定理得证因此,我们可以假定,在点a的充分小去心邻域K-{a}内f(z)≠A点).根据前面(1)段的结果,必定有一个趋向a的点列{zn}存在,使得上页下页铃结束返回首页(3)Weierstrass定理等价表述在本质奇点的无论怎样小的去心领域内，函数f(z)可以取任意接近于预先给定的任何数值（有限的或无穷的）。上页下页铃结束返回首页用下列例子来验证定理5.8成立例11()sinfzzA=∞()sin()e()2nnnnizfzinneniA≠∞2211sinArcsin()Ln1ln12nAAzziiAAiziAAni上页下页铃结束返回首页例21()zfze1()()nnnzfzennA=∞A=0A≠0,A≠∞1()0()nnnzfzenn11=1,2.ln2()znneAziAnifzA上页下页铃结束返回首页定理5.9(毕卡(大)定理)如果a为f(z)的本性奇点,则对于每一个A≠∞,除掉可能一个值A=A0外,必有趋于a的无限点列{zn}使f(zn)=A(n=1,2,…).或解析函数在一个本性奇点的邻域内无穷多次地取到每个有限值，至多除去一个例外值.