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12018年成都石室中学自主招生考试数学试卷一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分）1、石室中学正筹划建校2160周年校庆系列庆典活动，若准备搭建体积为2160的正方形“水立方”展览馆，则此展览馆的棱长在（）A.11.5到12.5之间B.12.5到13.5之间C.13.5到14.5之间D.14.5到15.5之间2、将正多边形ABCDEF放入直角坐标系中，顶点B，D，E的坐标分别为（n，m），（-n，m），（a，b），则点A的坐标可以为（）A.（-m，-n）B.（m，-n）C.（-a，b）D.（-b，-a）3、有的含二次根式的式子可以运用完全平方公式写成另外一个二次根式的平分，如3+22=12+（2）2+22=（1+2）2，则式子。（）A.被开方数小于0，无意义B.有意义，化简后为7-2C.有意义，但这个式子不能类比题目中的例子化简D.有意义，化简后为2-74、如图，求边长AB=2,BC=1的矩形ABCD沿CD折叠后与圆心角为90°的扇形重合部分的面积为（）A.B.C.2πD.3π+15、将以B为圆心，a为半径，圆心角为的扇形ABC的弧AC保持长度不变，拉直后与AB，BC构成等腰三角形ABC，则△ABC的面积与扇形ABC面积比较（）A.不发生改变，S△ABC=21πa2B.发生改变，S△ABC=π90a2C.不发生改变，S△ABC=πa2D.发生改变，6、已知关于x，y的方程组有无数多组解，则在待定系数b，k，n，m表示的4个数中任意取两数相乘，其乘积的最小值为（）A.12B.16C.20D.247、大小完全相同两等腰三角形如图放置，其中∠B=∠E=90°，AB=BC=DE=EF，DE与AC交于AC中点N，DF过点C，，BD=6，求点D到直线BC的距离为（）A.211B.712C.33D.7111028、如图所示，已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c图像经过（-1，0），下列结论：①abc0；②9a+3b+c0；③4ac-b2-4a；④-52a-51；⑤c+2b0.其中正确的结论有（）A.①②④B.①②⑤C.①③④D.③④⑤9、如图，直线y1=ax+2与y2=bx+4交于点N（1，a+2），将直线向下平移后得到y3=ax-5，求能使得y3y2y1的x的所有整数值分别为（）A.1,2,3B.2,3C.2,3,4D.3,4,510、如图，已知☉O上的两条弦AC和BC互相垂直于点C，点D在弦BC上，点E在弦AC上，且BD=AE，连接AD和BE，点P为BE中点，点Q为AD中点，射线QP与线段BC交于点N，若∠A=30°，NQ=3，则DQ的长为（）A.25B.5C.6D.27二、填空题：（本题共7小题，每小题6分，共42分）11、方程4x3-9x=0的解为。12、在△ABC中，AB=8，BC=6，AC边上的高BD=4，E,F分别为线段AB，BC中点，连接EF，则EF的长为。13、如图，A,B,C为同一直线上的顺次三点，DA⊥AC于点A，EC⊥AC于点C，DB⊥BE于点B，EC+EB=AC=10.则△ABD的周长为。14、已知将(x+y)n展开，按x降幂排列后的多项式各项系数可以如图对应。如:(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3，各项系数分别为1，3，3，1，则(x+)2021的系数为。315、矩形ABCD的相邻两边长AB=7,BC=10，在同一平面内，以顶点A为圆心，以5为半径作⊙A，在BC边上取一点E，使得BE=2，以点E为圆心，r为半径作圆⊙E，求使⊙E与⊙A有公共点，且点B在⊙☉E内，点D在⊙E外的r的取值范围。16、要研究使x，y满足x+1-y≥0的范围问题时，我们可以借助观察y=x+1的图像解决。如图，阴影部分为满足x+1-y≥0的区域，若x，y满足条件，令M=2x-5y，则M的取值范围为。17、（每空3分）如图Rt△ABC中，点C为直角顶点，∠CAB=30°，BC=3，将△ABC沿直角边AC翻折后得到△ADC，将△ADC绕点C进行任意角度旋转得到△A’D’C’（旋转后两三角形不重合），直线DD’与直线AA’交于点P，连接BP。求在旋转过程中线段BP的最大值为，最小值为。三、解答题（共58分，请将解题过程及结论写在答题卡的相应位置）18、（6分）已知关于x的方程4x2+4(k-1)x+k2有两个实根为x1,x2。（1）若x1,x2都是正根，求k的取值范围；（2）求当x12,x22=12时，k的值。419、(10分)地震是人类一直研究并试图战胜的自然灾害，四川是地震频发区，为更好的研究地震破坏性，石室中学创新基地班同学做了如下模拟监测实验。如图为地面(AB)以下至地震波反射面(MN)的横截面示意图。其中，O为震源，A为震中，B为观测站，OA⊥AB，AB∥MN。从0会同时发出两种地震波：直达波(路径为OB)和反射波(路径为OCB),它们的传播速度相同.已知震源深度h=14km,震中至观测站距离AB=48km。(1)求直达波传播的距离OB；(2)已知反射波(路径0CB)满足∠OCM=∠BCN，地震波的传播速度为5km/s，观测站收到两种地震波的时间差为2s，求地面与反射面的距离H.20、(10分)学完正弦、余弦、正切的定义后，同学们对有一个锐角为60°的三角形的边角关系进行了进一步研究。若三角形三个内角分别为ɑ=60°，β和γ，将ɑ所对的边与β所对的边之比定义为Rzcβ，将ɑ所对的边与γ所对的边之比定义为Rymβ，称Rzcβ与Rymβ互为β的“姐弟”函数，已知△ABC中，∠C=60°。(1)若∠A=75°，分别求RzcA和RymA的值；(2)若RzcA=3，求∠A的度数；(3)若AC2+BC2=4AB2-2AC·BC，探究RzcA与RymA的数量关系。521、（10分）如图，过点A作AD∥BC交∠ABC的平分线于D，连接AC，BD，AC⊥BD于点O。若BC=5，BDAC=21，在射线BC上任取异于点B的一点N，连接AN与BD交于点M,连接MC。（1）当N在线段BC上时，使BN=x，S△MNC=y，试用含x的代数式表示y；（2）若△MNC为直角三角形，求BN的长。22、（10分）（1）如图1，M，N分别为△ABC中AB，AC边中点，连接BN，CM，BN⊥CM于点O，求证:AB2+AC2=5BC2。（2）如图2，AB∥CD，AD与BC互相垂直平分于点G，AB=CD=2，分别取线段AG，BG的中点M，N，交于点O的射线CM和射线DN分别与AB交于点E，F，求OE2+OF2的值。623、（12分）已知二次函数y=x2+2x-3的图像与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，抛物线对称轴为直线l，顶点为M，点P为直线l上一动点。（1）抛物线上的一点N为点C关于直线l的对称点，直线BN交y轴于点E，交直线l于点K，试在x轴上找一点Q，使得C，E，Q，P四点围成的四边形周长最小，求出点P，Q的坐标以及这个周长的最小值；（2）通过初中的学习，我们把点到直线的连线段中最短的垂线段的长度称为点到直线的距离，一般而言，我们通常把点到一个图形上所有点的线段中最短的一条的长度定义为这个点到这个图形的距离，①求顶点M到直线BN的距离h；②请找出直线l上所有到直线BN的距离等于h的点坐标；③动点P到此抛物线的距离为3，求出符合条件的所有点P的坐标