5.3解析函数在无穷远点的性质

上页下页铃结束返回首页5.3解析函数在无穷远点的性质上页下页铃结束返回首页定义5.4设函数f(z)在无穷远点(去心)邻域N-{∞}:+∞|z|r≥0内解析,则称点∞为f(z)的一个孤立奇点.设点∞为f(z)的孤立奇点,利用变换z/=1/z,于是)()'1()'(zfzfz在去心邻域:内解析规定如)10(1|'|0:}0{rrrzK:.)(我们还看出之一孤立点就为zz0(5.12)如果点∞是f(z)的奇点的聚点，就是非孤立奇点.上页下页铃结束返回首页(1)对于扩充z平面上无穷远点的去心邻域N-{∞},有扩充z/平面上的原点的去心邻域;(2)在对应点z与z/上,函数)'()(zzf(3)),'(lim)(limzzfzz0或两个极限都不存在.定义5.5若z/=0为)'(z的可去奇点(解析点),m级极点或本性奇点,则我们相应地称z=∞为f(z)的可去奇点(解析点),m级极点或本性奇点.设在去心邻域K-{0}:0|z’|1/r内将)'(z展成罗朗级数:nnnzcz')'(上页下页铃结束返回首页令z/=1/z,根据(5.12),则有nnnzbzf)(其中).,1,0(ncbnn(5.13)(5.13)为f(z)在无穷远点去心邻域N-{∞}:0≤r|z|+∞内的罗朗展式.对应在z’=0的主要部分,我们称nnnzb为f(z)在z=∞的主要部分.)()'1()'(zfzfznnnzcz)()'(z上页下页铃结束返回首页定理5.4/(对应于定理5.4)f(z)的孤立奇点z=∞为m级极点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:定理5.3/(对应于定理5.3)f(z)的孤立奇点z=∞为可去奇点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:(1)f(z)在的主要部分为零;(2)(3)f(z)在的某去心邻域N-{∞}内有界.z);()(limbzfzz);0(221mmmbzbzbzb(1)f(z)在z=∞的主要部分为上页下页铃结束返回首页定理5.5’(对应于定理5.5)f(z)的孤立奇点∞为极点的充要条件是定理5.6’(对应于定理5.6)f(z)的孤立奇点∞为本性奇点的充要条件是下列任何一条成立:(1)f(z)在z=∞的主要部分有无穷多项正幂),()(zzzfm(2)f(z)在z=∞的某去心邻域N-{∞}内能表成);0(其中在z=∞的邻域N内解析,且)(z(3)g(z)=1/f(z)以z=∞为m级零点(只要令g(z)=0)..)(limzfz上页下页铃结束返回首页不等于零;)(limzfz广义不存在(即当z趋向于∞时f(z)不趋向于任何(有限或无穷)极限).例1))(()(211zzzfzzzzzzg2111212))(()((2)上页下页铃结束返回首页补充例2：求出下列函数的奇点，并确定他们的类型（对于极点，要指出它们的级），对于无穷远点也要加以讨论。.11)()5(;sin)()4(;11)()3()1()()2(;)1(1)()1(33225226zezfzzzzfzzzfzzzfzzzzf上页下页铃结束返回首页例3求出函数tan(1)()1zfzz的全部奇点(含∞点),并判断其类型.例4问函数1sec1z在z＝1的去心邻域内能否展开为洛朗级数.上页下页铃结束返回首页例5设f(z)在0|z-a|R内解析，且不恒为零；又若f(z)有一列异于a但却以a为聚点的零点。试证a必为f(z)的本性奇点。