5.4整函数与亚纯函数

上页下页铃结束返回首页5.4整函数与亚纯函数1、整函数2、亚纯函数上页下页铃结束返回首页在整个z平面上解析的函数f(z)称为整函数.).||0()(0zzczfnnn(5.14)设f(z)为一整函数,则f(z)只以z=∞为孤立奇点,且可设于是显然有1、整函数定理5.10若f(z)为一整函数,则(1)z=∞为f(z)的可去奇点的充要条为:f(z)=c.(2)z=∞为f(z)的m级极点的充要条件:f(z)是一个m次多项式).0(10mmmczczcc(3)z=∞为f(z)的本性奇点的充要条件为:展式(5.14)有无穷多个cn不等于零.(我们称这样的f(z)为超越整函数).上页下页铃结束返回首页定义5.6在z平面上除极点外无其他类型奇点的单值解析函数称为亚纯函数.2.亚纯函数定理5.11一函数f(z)为有理函数的充要条件为:f(z)在扩充平面z平面上除极点外没有其它类型的奇点.上页下页铃结束返回首页(2)但m≤n时,z=∞必为f(z)的可去奇点,只要置其中与分别为z的m次多项式,且彼此互质.则(1)当mn时,z=∞必为f(z)的m-n级极点;,)()()(zQzPzf)(zP)(zQzfzQzPz,)()()(lim证必要性设有理函数就是f(z)的解析点;(3)的零点必为f(z)的极点.)(zQ充分性若f(z)在扩充z平面上除极点外没有其它类型的奇点,则这些极点的个数只能是有限个.因若不然,这些极点在扩充z平面上的上页下页铃结束返回首页聚点就是f(z)的非孤立奇点.与假设0矛盾.今命f(z)在z平面上的极点为12nzzz鬃?、、、其级数分别为则函数12nlll鬃?、、、)()()()()(2121zfzzzzzzzgnn至多以z=∞为极点,而在z平面上解析.故g(z)必为一多项式(或常数).即必f(z)为有理函数.由此可见,每一有理函数都是亚纯函数.定义5.7非有理的亚纯函数称为超越亚纯函数