6.1-留数

上页下页铃结束返回首页第六章留数理论及其应用•§1留数•§2用留数定理计算实积分•§3辐角原理与儒歇定理上页下页铃结束返回首页第一节留数1.留数的定义及留数定理2.留数的求法3.函数在无穷远点的留数上页下页铃结束返回首页3定义6.1设f(z)以有限点a为孤立奇点，即f(z)在点a的某去心邻域0|z-a|R内解析，则称积分12𝜋𝑖𝑓(𝑧)𝑑𝑧Γ(Γ:|𝑧−𝑎|=𝜌,0𝜌𝑅)).(Rezfsaz为f(z)在点a的留(残)数(residue),记为：1.留数的定义及留数定理将f(z)在点a去心邻域内展成洛朗级数，有：()0|-|nnnfzzaza1R()2enzannczadzisfz11011.22nnnnnncdzczadzizcia即RazdzzfiCasf||1)(21)(Re上页下页铃结束返回首页4定理6.1(柯西留数定理)f(z)在围线或复围线C所围区域D内,除a1,a2,…an外解析,在闭域=D+C上除a1,a2,…an外连续,则nkazczfsidzzfk12)(Re)(nkazkkk，，　21:Dzfsidzzfzfnkaznickk11Re2　证作圆周使其全含于内且两两不相交，取逆时针方向，则由柯西积分定理有注留数定理的重要意义在于把复变函数的闭合曲线积分转化为计算被积函数在孤立奇点处的留数。由于一般被积函数在相应的区域中只有少数几个孤立奇点，求这些孤立奇点的留数相对较容易，因此留数定理是计算复变函数闭合曲线积分的非常有效的方法。上页下页铃结束返回首页52.留数的求法(1)常规方法:1Re()zasfzc不过，有时洛朗级数可能不容易求出或太复杂，但如果知道奇点的类型，对求留数更有指导作用。将f(z)在a点的某去心邻域内展成洛朗级数，利用洛朗系数公式和留数定义可得计算留数的公式，即负幂项的系数。(3)a为本性奇点时，将f(z)在a点的某去心邻域内展成洛朗级数来求(2)a为有限可去奇点时:Re()0zasfz运用留数定理计算复变函数闭合曲线积分，首先必须求出被积函数在相应区域中的孤立奇点及其留数。11)(azC(4)a为极点时，有如下结论.1C上页下页铃结束返回首页6()()()nzfzza其中(z)在点a解析,(a)≠0，则:定理6.2设a为f(z)的n级极点,即.)]()[(lim)!1(1)!1()()(Re)1()1(nnaznazzfaznnazfs推论6.3设a为f(z)的一级极点,),()()(zfazzlRim()(())e.()zazaszazaffz则推论6.4设a为f(z)的二级极点,),()()(zfazz2则.])()[(lim)()(Re2zfazazfsazaz定理6.5设a为()()()zfzz的一级极点0)(,0)(,0)(aaa)()()(Reaaasf上页下页铃结束返回首页•例6.1计算𝐼=5𝑧−2𝑧𝑧−12𝑧=2𝑑𝑧上页下页铃结束返回首页•解：在圆周的内部只有一级极点及二级极点𝑓𝑧=5𝑧−2𝑧𝑧−12𝑧=2𝑧=0𝑧=1•而由残数定理，得Re𝑠𝑧=0𝑓𝑧=5𝑧−2𝑧−12|𝑧=0=−2Re𝑠𝑧=1𝑓𝑧=5𝑧−2𝑧′|𝑧=1=2𝑧2|𝑧=1=25𝑧−2𝑧𝑧−12𝑧=2𝑑𝑧=2𝜋𝑖−2+2=0上页下页铃结束返回首页•例6.2计算𝐼𝑛=tan𝜋𝑧𝑧=𝑛𝑑𝑧上页下页铃结束返回首页•解：只以为一级极点，而tan𝜋𝑧=sin𝜋𝑧cos𝜋𝑧𝑧=𝑘+12　𝑘=0，±1，⋯Re𝑠𝑧=𝑘+12 tan𝜋𝑧=sin𝜋𝑧cos𝜋𝑧′𝑧=𝑘+12=−1𝜋•由残数定理得𝐼𝑛=tan𝜋𝑧𝑧=𝑛𝑑𝑧=2𝜋𝑖Res𝑧=𝑘+12tan𝜋𝑧|𝑘+12|𝑛=2𝜋𝑖−2𝑛𝜋=−4𝑛𝑖上页下页铃结束返回首页•例6.3计算𝐼=cos𝑧𝑧3𝑧=1𝑑𝑧上页下页铃结束返回首页•例6.5计算𝐼=e1𝑧2𝑧=1𝑑𝑧上页下页铃结束返回首页13例1设,求留数21)(zezfizRes𝒛=𝒊𝑓(𝑧)例2设,求留数)0,(Rezfs3sec)(zzzf例3设,求留数22)1()(zzezfiz),(Reizfs例4计算积分逆时针方向。,2|2:|,)2)(1(zCzzzdzC例5计算积分逆时针方向。,2|:|,))(2(sin2zCzzzdzC留数计算补充例子上页下页铃结束返回首页14例6求在的留数,其中a,b是实常数.222)()(zaezfibzai例7求在的留数.5)(zezfz0z例8求留数.)0,sin(Re42zzs例9求函数在奇点的留数.zezfz2sin)(上页下页铃结束返回首页153.函数在无穷远点的留数Re()zsfz定义6.2设∞为f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域N-{∞}：0≤r|z|+∞内解析，则称)|:|(,)(rzdzzfi21为f(z)在点∞的留数,记为)(Rezfsz,其中-是顺时针方向.设f(z)在0≤r|z|+∞内的罗朗展式为nnzczczczcczfnn101)(由逐项积分定理即知11Re()(),2zsfzfzdzci例1设f(z)=z6/(1+z6),求Re()zsfz也就是说，等于f(z)在点的洛朗展式中项的系数的相反数。z1上页下页铃结束返回首页16定理6.6如果f(z)在扩充复平面C∞上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内),则f(z)在各点的留数总和为零，即.)(Re)(Re01zfszfsznkazk1Re()R.e()knzazksfzsfz,,,,21naaa例1计算积分5621ZzIdzz上页下页铃结束返回首页17函数在无穷远点的留数的另一计算公式]1)1([Re)(Re20ttfszfstz例2利用以上公式计算例1中的积分5621ZzIdzz例3利用无穷远点的留数计算积分2/3||32410)2()2(zzzdzzI或写成如下形式CCtdttfidzzfisf2)1(21)(21)(Re别无奇点。可能为奇点外，内除道，在一周的围向）绕平面上正向（逆时针方是在别无奇点。相应地，可能为奇点外，外除在周的围道，正向（顺时针方向）一是绕其中)/1(00)(tftCttCzfCzC上页下页铃结束返回首页•例6.5计算434221521zdzzzzI上页下页铃结束返回首页•解：共有七个奇点：前6个根均在内部，故𝑧=±𝑖𝑧=24𝑘𝑘=0，1，2，3𝑧=∞𝑧=4𝐼=2𝜋𝑖[−Re𝑠𝑧=∞𝑓𝑧]•而故。从而𝑓𝑧=𝑧15𝑧161+1𝑧221+2𝑧43　　=1𝑧1−2⋅1𝑧2+⋯1−3⋅2𝑧4+⋯Re𝑠𝑧=∞𝑓𝑧=−𝑐−1=−1𝐼=2𝜋𝑖上页下页铃结束返回首页•而故。从而423422161523112112111zzzzzzzzf　　1Re1czfsziI2上页下页铃结束返回首页第二节用留数定理计算实积分1.计算型积分.2.计算型积分3.计算型积分dR20)sin,(cosdxxQxP)()(dxeimxxQxP)()(某些实函数的积分难以直接计算，可设法化为复变闭合曲线积分，然后在利用留数定理计算积分值，这时计算某些实积分的有效途径之一。上页下页铃结束返回首页22表示,的有理函数,1.计算型积分dR20)sin,(cos)sin,(cosRcossin11cos,sin,22zzzzdzdiiz1120||1(cos,sin),,22zzzzzdzRdRiiz并且在]2,0[上连续.ize当z沿圆周|z|=1的正方向绕行一周，有这里令上页下页铃结束返回首页23典型例题例2计算积分为常数）1|(|cos120bbdI例1计算积分为常数）1(sin20atadtI例3证明.325)sin35(202dI思考题计算积分.cos102dI上页下页铃结束返回首页242.计算型积分dxxQxP)()(),(Re:21充分大RzSiR引理6.1设f(z)沿圆弧lim()Rzfz上连续，且于SR上一致成立(即与21lim()().RSRfzdzi为互质多项式,且满足条件:(1)n-m≥2;),0()(0110cczczczPmmm),0()(0110bbzbzbzQnnn定理6.7设()()()PzfzQz为有理分式,其中Im0()2Re().kkazafxdxisfz0xa2aka1yza3a4于是有;,0)()2(RxxQ中的无关),则21（大圆弧引理）上页下页铃结束返回首页25例1设a0，计算积分8801dxxa例2设ab0，计算积分22222xdxxaxb例3计算积分)1(21022xdxI例4计算积分)1(32xdxI思考题计算积分)2/cosh()1(2xxdxI上页下页铃结束返回首页263.计算dxeimxxQxP)()(),0(Re:充分大RziRlim()0(0).RimzRgzedzmlim()0Rgz引理6.2(约当Jordan引理)设：上连续,在上一致成立.则R型积分R(2)(1)g(z)沿半圆周在实轴上无奇点）)()((xQxP上页下页铃结束返回首页27()imxgxedx特别说来,将(*)分开实虚部,就可以得到形如:.sincos)()()()(的积分及mxdxmxdxxQxPxQxP则(2)Q(x)≠0,xR;(3)m0.Im02[()].kkimzzaaiResgze(*)定理6.8设，其中P(z)及Q(z)是互质多项式且满足条件(1)Q(z)的次数比P(z)的次数高；)()()(zQzPzg定理的证明类似于定理6.7.例1设a0,p0,计算积分.cos022axpxdxI例2计算积分.1sin02xxdxxI上页下页铃结束返回首页284.计算dxeimxxQxP)()(),(:21充分小rreazSir上连续,且型积分Sr引理6.3设f(z)在圆弧在实轴上有奇点）)()((xQxP于Sr上一致成立,则有)()(lim0zfazr.)()(lim120idzzfrSr证因,于是有)(12iazdzrS.|)()(||)()(|,012dzazzfazidzzfrrSS分析类似于引理6.1.（小圆弧引理）小圆弧引理可用。存在时，（当是多值函数的支点，则若理一定不可用；是高阶极点，小圆弧引一定可用；若，小圆弧引理的可去奇点或一阶极点是若注)()lim)(zfazazazzfazaz上页下页铃结束返回首页29例1计算积分.