21常微分方程的几何解释.

常微分方程绵阳师范学院第二章基本定理2.1常微分方程的几何解释2.2解的存在唯一性定理2.3解的延展2.4奇解与包络常微分方程绵阳师范学院G2.1常微分方程的几何解释2.1.1线素场一阶微分方程d(,)2.1dyfxyx右端函数,fxy在区域G内有定义.以,xy为中心,作一单位线段,使其斜率为,kfxy,称为在点的线素.,xy这样在区域G上确在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.定了一个线素场(又称方向场).,fxykK为参数常微分方程绵阳师范学院例1试讨论方程dyydxx所确定的线素场.解除Y轴无定义外,方程在两个半平面上都确定了线素场.易见在点ykx的线素与,xy过原点与该点的射线重合.常微分方程绵阳师范学院定理2.1L为(2.1)的积分曲线的充要条件是:在L上任一点,L的切线方向与(2.1)所确定的线素场在该点的线素方向重合;即L在每间点均与线素场的线素相切.证明必要性设L为(2.1)的积分曲线,其方程为,则函数为(2.1)的一个解.于是,在其有yx,xfxx定义的区间上有上式左端为曲线L在点,xx的切线斜率.右端恰为方程(2.1)的线素场在同一点处的线素斜率常微分方程绵阳师范学院素场的线素方向重合,则切线斜率与线素斜率应当相等.于是,在函数有定义的区间上,恒有等式,xx,xxyx的切线与线素场在该点线素重合.整个曲线L都是这样.充分性设方程为上式左端为曲线L在点的曲线L,在其上任何一点这个等式恰在此时好说明为方程(2.1)的解yx,xfxx处,它的切线方向都与方程(2.1)的线从而曲线运动L为方程的积分曲线.yx直观地说:积分曲线是始终”顺着”线素场的线素方向行进的曲线.常微分方程绵阳师范学院例2.dxdy的方向场研究方程xy常微分方程绵阳师范学院例3.dxdy}2,2|),{(的方向场和积分曲线内画出方程在区域yyxyxD积分曲线方向场常微分方程绵阳师范学院向量场的示意图积分曲线例7.dxdy2的方向场和积分曲线研究方程yx常微分方程绵阳师范学院它在这个区域上确定了一个线素场.下面利用线素场求出经过的近似积分曲线.把00,xy假设函数2.1.2欧拉折线----求过一点的近似积分曲线,fxy00(,),(2.2)()dyfxydxyxy,,axby在给定区域上连续且有界.于是等分,其分点为:0,0,1,,kxxkhkn0,nbxhxbn0,xbn常微分方程绵阳师范学院00,fxy,fxy0000,yyfxyxx00,xy00,fxy先求出0x1xb2xx0y11,xyy22,xy100010000,,yyfxyxxyfxyh用经过1x11,xy斜率为的直线段来近似积分曲线,其方程为求出直线上横坐标就很接近积分曲线上的点如果h很小处的点的纵坐标11,xyx因连续.于是由点出发的斜率为11,xy11,fxy的直线段又近似于原积分曲线.它的方程为用经过常微分方程绵阳师范学院1111,yyfxyxx211121111,,yyfxyxxyfxyh2x求出直线上横坐标处的点的纵坐标类推,可求出方程(2.1)的真正解在各处的近似值这样求得积分曲线的近似折线称为欧拉折线.这也是微分方程数值解讨论的计算方法之一.111,,1,2,,kkkkyyfxyhkn常微分方程绵阳师范学院2.1.3初值问题解的存在性00(,),(2.2)()dyfxydxyxy佩亚诺定理给出了:右端函数连续保证初值解的存在性.(在下一节讨论)需解决的问题?,)(),(1000的解是否存在初值问题yxyyxfdxdy?,,)(),(2000是否唯一的解是存在若初值问题yxyyxfdxdy常微分方程绵阳师范学院作业•P771.(1)(2)3.