高中数学圆锥曲线问题解题技巧

(2019·全国Ⅰ卷文科)已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为()A．B．C．D．)0(1222ayax23x232326332xyo··F1F2bθcos＝1e2axc222222cabeaa=1+k2.(k为双曲线渐近线的斜率.)(2019∙全国东北理科卷)设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为y=±x，则该双曲线的离心率e=()A.5B.C.D.5525412222222cabeaa=1+k2.其中k为双曲线渐近线的斜率.Ce2=5/4.(2019·全国Ⅰ卷文科)已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为()A．B．C．D．)0(1222ayax23x232326332xyo··F1F2bθa1ka232ac}2;3ke将k2=e2-1代入上式,整理得9e4-9e2-4=0e2=4/3.D42212212,2,1.3bPFFFcaPFFF2221,32baab423440kk已知F1、F2为双曲线(a0,b0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于P,且∠PF1F2＝30º(如图),求双曲线的渐近线方程.22221xyabxyoPF1F2即ec＝3a,e2＝3,11costan2.3e已知F1、F2为双曲线(a0,b0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于P,且∠PF1F2＝30º(如图),求双曲线的渐近线方程.22221xyabxyoPF1F2|PF1|＝2|PF2|，exP+a=2(exP-a)，exP＝3a,k2=e2-1=2.y=±x.2(2019·福建理科)已知F1、F2是双曲线-=1(a0,b0)的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是()A.4+2B.-1C.D.+122xa22yb333312xyoF1F2MA30ºx1由已知,|AF1|=c,|AF2|=c,3即ex1-a=c,ex1+a=c,3两式相减：2a=(-1)c,3两边同除以a得e=231.31(2019·福建理科)已知F1、F2是双曲线(a0,b0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是()A.4+2B.-1C.D.+122221xyab333312因为|NF1|=exN-a=c,即exN+a=c3yxoMF2NF1又|NF2|=|NF1|,3D32exN=(+1)c将xN=c/2代入即得.要点提炼：设双曲线的离心率为e,一条有较小倾斜角的渐近线的斜率为k,则双曲线的如下性质在解题时十分有用：①过焦点作一条渐近线的垂线,垂足在双曲线的准线上,垂线段的长等于半虚轴长；②＝arccos(1/e)；③e2＝k2＋1.此外,双曲线的焦半径公式：r1＝|ex0＋a|，r2＝|ex0－a|在处理涉及双曲线的焦半径问题时是十分有用的,必须要学生熟记它.1122,PFrPFr设.162212221rrrr22212(2)4520,rrc,221rr121212FPFSrr设而不求(1994·全国)设F1,F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2=90º则△F1PF2的面积是()A.1B.C.2D.1422yx255124rr=1.AxyoF1F2P121212PFFPSFFy222244,5xyxy211.55Pyy1212111251.225PFFPSFFy以F1F2为直径的圆的方程是：x2+y2=5,(2019·全国Ⅲ卷)已知双曲线的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF1·MF2=0,则点M到x轴的距离为()A．B．C．D．1222yx43532333xyoF1F2Mx2+y2=3MF1·MF2=0MF1⊥MF2x2+y2=3,2x2-y2=2{2Py=4.3平几知识的应用C已知F1、F2为双曲线(a0,b0)的焦点，M为双曲线上的点,若∠F1MF2＝90º,则△F1MF2的面积等于________.22221xyabxyoF1F2M一般化x2+y2=c2,b2x2-a2y2=a2b2{c2y2=b2(c2-a2)=b4y=b2/cS△F1MF2=b2.(2019·全国Ⅲ卷)已知双曲线的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且MF1·MF2=0,则点M到x轴的距离为()A．B．C．D．1222yx43532333xyoF1F2MCS△F1MF2=b2=2设点M到x轴的距离为d,则cd=Sd=2.3将直角坐标系中的曲线平移(或平移坐标轴)，曲线上任意两点之间的距离（弦长）、两条定弦之间的夹角、以及曲线上任一点处的切线的斜率，都是平移变换下的不变量.(2019∙全国)直线l过抛物线y2＝a(x+1)(a0)的焦点,并且与x轴垂直,若l被抛物线截得的线段长为4,则a＝.直线l过抛物线y2＝4(x+1)的焦点,并且与x轴垂直,若l被抛物线截得的线段长为.44y2＝a(x-3)（2019·新课程卷）设a0，f(x)=ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的倾斜角的取值范围为，则点P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为()A.B.C.D.0,410,a10,2a0,2ba10,2ba∴曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k=2ax0.依题意,0≤k≤1,即0≤2ax0≤1.010.2xaB∵f(x)=2ax,xyoFPy=ax2y=-14a∵y=2ax,∴y|=1.12xa21xya证明：点P处的切线斜率为1xyoFP证明：点P处的切线斜率为1法一：由y2=2px2yy=2p,,pyy1.ypy法二：由2ypx1222pypx21.pxyF回顾y2=2px∣PF∣=pxyoA2pxx=-命题1设抛物线y2=2px(p0)的通径为PQ，则抛物线在点P、Q处的切线的斜率分别为1和-1,且切线通过抛物线的准线与x轴的交点.xyOPQF2px=-MxyoFP(2019∙全国东部卷)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]11[,]22y2=18xy2=8(x-6)C已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上的任一点，过点F且斜率为1的直线与C交于A、B两点，若PAB的面积为4，则这样的点P有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2AB：x-y-1=0求得|AB|=8；取点M(1,2)MAB的面积为42C2点M到直线AB的距离为xyoABFM引申1椭圆通径一个端点处切线的斜率xyoF1P22,byaxa由2212.2bxyaax得22.xcbcyeaac引申2双曲线通径端点处切线的斜率为e.引申3过椭圆上一点P(x0,y0)的切线方程为：22221(0)xyabab00221;xxyyab20020().bxkfxay切引申4过双曲线上一点P(x0,y0)的切线方程为：22221(0,0)xyabab00221;xxyyab20020().bxkfxay切引申5过抛物线y2=2px上一点P(x0,y0)的切线方程为：y0y=p(x+x0)y0y=p(x+x0)k切=0py命题2若PQ为焦点在x轴上的圆锥曲线的通径，则曲线在点P、Q处的切线的斜率为e和-e，且切线通过相应准线与x轴的交点.或表述为：过焦点在x轴上的圆锥曲线的准线与x轴的交点，且斜率为e(或-e)的直线，与圆锥曲线相切，且切点为圆锥曲线一条通径的端点.xyo作离心率为1/2的椭圆xyoFAB|OF|＝c,|FA|＝b,|OA|＝a.c·|AB|＝2ab|AB|＝2abc＝2.be作离心率为2的双曲线(2019∙湖南理科卷)如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.(I)设点P分有向线段AB所成的比为，证明QP⊥(QA-QB)；(II)设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.xyoAPBQxyoAPBQ(0,-m)(x1,y1)(x2,y2)AP=(-x1,m-y1),PB=(x2,y2-m),由已知,x1=-x2,y1-m=-(y2-m).即2222221212,.xxymym因为A、P、B共线,且AP=PB.∴QP=QA+QB=(QA+QB).11111欲证QP⊥(QA-QB),只须证QP∙(QA-QB)=0,即证|QA|2-2|QB|2=0.而|QA|2-2|QB|2=[+(y1+m)2]-2[+(y2+m)2]21x22x光的反射基本原理:(Ⅰ)光的传播遵循“光行最速原理”;(Ⅱ)光的反射应满足：“入射角=反射角”;由此推得入射线与反射线关于法线对称;投影线为水平线时,k入射线+k反射线=0.光的反射基本技巧:始点终点——入射线;始点终点的对称点——反射线.始点的对称点终点(1989·全国)自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线l所在直线的方程.(x-2)2+(y-2)2=1x1yo1-1..A..A׳始点的对称点终点-——反射线；终点的对称点始点-——入射线.(2019∙江苏)点P(-3,1)在椭圆的左准线上,过点P且方向为a=(2,-5)的光线,经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为()A.B.C.D.222210xyabab33132212xyoP(-3,1)F(-c,0)MNl解法一：依题意,入射线方程为y-1=-(x+3)52令y=-2,得M(-,-2);95令y=0,得N(-,0).135F(-1,0)a2=323ac33exyoP(-3,1)F(-c,0)MNl解法二：点F关于直线y=-2的对称点为Q(-c,-4).c=1a2=323ac依题意,kPQ=-,52Q33e要点提炼：光反射的理论依据，是物理学中的光行最速原理；数学中处理这类问题的基本方法是运用平面几何中的对称性，这就是“通法”.只有把握住“通法”，不论题目如何变化，你才能在解题时得心应手，游刃有余.(2019∙江苏卷)已知椭圆的中心在原点，离心率为，一个焦点是F(-m,0)(m是大于零的常数).(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)设Q是椭圆上的一点，且过点F，Q的直线l与y轴交于点M，若|MQ|=2|QF|，求直线l的斜率.12(Ⅰ)22221.43xymm(Ⅰ)22221.43xymmxyoMQF|MQ|=2|QF|(Ⅱ)分析：由题设，|xM-xQ|=2|xQ-xF|，即|xQ|=2|xQ+m|，即xQ=-2m或xQ=-m.23{3x2+4y2=12m2,y=k(x+m)(3+4k2)x2+8k2mx+4k2m2-12m2=0令x=-2m，得k=0；令x=-m，得k=±2.623(2019·东北理科卷)给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点.(Ⅰ)设l的斜率为1，求OA与OB的夹角；(Ⅱ)设BF=FA,若[4,9]，求l在y轴上截距的变化范围.xyoABF(Ⅱ)由对称性，我们只须研究如图的情况.xyoABF24,1yxxmy(1)当yB=-4yA时，234,44ABAABAyyymyyy2440ymyyA=－1m=.3