数学建模案例分析4足球门的危险区域--概率统计方法建模

数学建模数学建模§4足球门的危险区域一、问题提出在足球比赛中，球员在对方球门前不同的位置起脚射门对对方球门的威胁是不一样的。在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧射门；近距离的射门对球门的威胁要大于远射。已知标准球场长为104米，宽为69米；球门高为2.44米，宽为7.32米。实际上，球员之间的基本素质可能有一定差异，但对于职业球员来讲一般可以认为这种差别不大。另外，根据统计资料显示，射门时球的速度一般在10米/秒左右。下面要建模研究下列问题：（1）针对球员在不同位置射门对球门的威胁度进行分析，得出危险区域；（2）在有一名守门员防守的情况下，对球员射门的威胁度和危险区域作进一步研究。二、问题分析根据这个问题，要确定球门的危险区域，也就是要确定球员射门最容易进球的区域。球员无论从哪个地方射门，都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件，无非是哪些地方进球的可能性最大，即是最危险的区域。影响球员射门命中率的因素很多，其中最重要的两点是球员的基本素质（技术水平）和射门时的位置。对每一个球员来说，基本素质在短时间内是不可能改变的，因此，我们主要是在确定条件下，对射门位置进行分析研究。也就是说，我们主要是针对同素质的球员在球场上任意一点射门时，研究其对球门的威胁程度。某一球员在球门前某处向球门内某目标点射门时，该球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的概率，即命中球门的概率。事实上，当上述两个因素确定时，球飞向球门所在平面上的落点将呈现一个固定的概率分布。稍作分析容易断定，该分布应该是二维正态分布，这是我们解决问题的关键所在。球员从球场上某点射门时，首先必定在球门平面上确定一个目标点，射门后球依据该概率分布落入球门所在平面。将球门视为所在平面上的一个区域，在区域内对该分布进行积分，即可得到这次射门命中的概率。然而，球员在选择射门的目标点时是任意的，而命中球门的概率对目标点的选择有很强的依赖性。这样，我们遍历球门区域内的所有点，对命中概率作积分，将其定义为球场上某点对球门的威胁程度，根据威胁度的大小来确定球门的危险区域。三、模型假设1、在理想状态下，认为球员的基本素质是相同的，或差别不大；2、不考虑球员射门后空气、地面对球速的影响，设球速为10米/秒；3、球员射门只在前半场进行，为此假设前半场为有效射门区域；4、只考虑标准的球场：长为104米，宽为69米；球门高为2.44米，宽为7.32米。四、符号说明：半场上的一个球门所在平面，是地面以上的半平面；D：球门内有点在球门平面上所表示的区域，即D；),(yxA：球场上的点，),(yx为其坐标；),(zyB：球门内的点，),(zy为其坐标；),(zyp：从球场上A点对准球门内B点射门对，命中球门的概率；),(yxD：球场上点),(yx对球门的威胁度；数学建模数学建模k：球员的基本素质，是一个相对指标；d：球场上A点到球门内B点的直线距离；：直线AB在地面上的投影线与球门平面的夹角（锐角）。五、模型建立与求解首先建立如图所示的空间直角坐标系，即以球门的底边中点为原点O，地面为xOy面，球门所在的平面为yOz面。zABxOy问题（1）根据前面的分析，在此假设基本素质为k的球员从),(00yxA点向距离为d的球门内目标点),(11zyB射门时，球在目标平面上的落点呈现二维正态分布，且随机变量zy,是相互独立的。其概率密度函数为),(,2)()(exp21),(221212zyzzyyzyf（1）其中方差与球员素质k成反比，与射门点),(00yxA和目标点),(11zyB之间的距离d成正比，且偏角越大方差越小。当2时（即正对球门中心），仅与k，d有关。由此,我们可以确定的表达式为)1(cotkd其中001cotxyy，2120120)(zyyxd。注意到，在（1）式的密度函数中，关于变量zy,是对称的，但实际中球只能落在地面以上，即只有0z。为了平衡这个密度函数，我们令DDdydzzyfzyyxp),(),;,(1100dydzzyfzyyxp),(),;,(1100则取两者的比值即为这次射门命中球门的概率),;,(),;,(),;,(110011001100zyyxpzyyxpzyyxpD（2）数学建模数学建模对命中球门的概率（2）在球门区域D内作积分，定义为球场上某点),(00yxA对球门的威胁度，即DdzdyzyyxpyxD11110000),;,(),(综合以上分析，对于球场上任意一点),(yxA关于球门的威胁度为DdzdyzyyxpyxD1111),;,(),(其中),;,(),;,(),;,(111111zyyxpzyyxpzyyxpD，21212)(zyyxd，xyy1cot。要求解该问题一般是比较困难的，只能采用数值积分的方法求解。首先确定反应球员基本素质的参数k，具体方法如下：根据一般职业球员的情况，我们认为一个球员在球门的正前方（2）距离球门10米处（d=10）向球门内的目标点劲射，标准差应该在1米以内，即取1，由)1(cotkd可以得到10k。于是，当球员的基本素质10k时，求解该模型可以得球场上任意点对球门的威胁度，部分特殊点的结果见下表。根据各点的威胁度的值可以作出球场上等威胁度的曲线。位置(0,1)(0,5)(0,10)(0,20)(0,30)(0,50)(3,1)(3,5)(3,10)(3,20)问题114.4614.5412.698.645.712.8111.5613.4811.767.95问题212.9412.018.974.802.761.1010.0710.938.384.57位置(3,50)(5,1)(5,5)(5,10)(5,20)(5,30)(5,50)(10,1)(10,5)(10,10)问题12.676.3011.4110.367.164.872.510.895.336.47问题21.085.908.957.234.122.451.010.823.924.31位置(10,30)(10,50)(20,1)(20,5)(20,10)(20,20)(20,30)(20,50)(3,30)(10,20)问题13.822.120.060.881.852.432.191.485.325.24问题21.930.860.040.591.161.341.080.592.663.01问题（2）假设守门员站在射门点与两球门柱所夹角的角平分线上，即守门员站在球门在垂直射门线平面上的投影区域中心位置是最佳防守位置。球员在球场上某点对球门内任一点Dzy),(起脚射门，经过时间t到达球门平面，球到达该点时，守门员对球都有一个捕获的概率),,(0zytp，下面先分析一下这个函数),,(0zytp的形式。首先注意到，当t一定时，),,(0zytp应该是一个以守门员为中心向周围辐射衰减的二维函数，当t变小时，曲面的峰度应增高，而面积减小，因此我们可以用二维正态分布的概率密度描述这种变化趋势。参数t表示从起脚射出的球到达球门的时间，也就是给守门员的反应时间，该时间越长，曲面越平滑，综上我们得到ctzayzytp220)25.1()(exp),,(数学建模数学建模其中c为守门员的反应系数，据专家预测，一般正常人的反应时间约为0.12~0.15秒。根据著名的“纸条试验”可得到一般人反应时间约为10/2秒（即设想将一张纸条放在人的两手指之间，当纸条在重力作用下自由下落时，由25.0gts可以计算出人的反应时间）。因此，在此不妨取c=1/7（实验值），守门员防守时偏离球门中心的距离为66.3)66.3()66.3()66.3(32.7202020202020xyxyxya在问题（1）的基础上，对球员在球场上一点),(00yxA射入球门的概率应修正如下：DDdydzzytpzyfzyyxp)],,(1)[,(),;,(01100即),,(0zytp表示守门员捕获球的概率，),,(10zytp就表示捕不住球的概率。于是类似地得到球场上任意一点),(yxA对球门的威胁度为DdzdyzyyxpyxD1111),;,(),(其中),;,(),;,(),;,(111111zyyxpzyyxpzyyxpD，),;,(11zyyxp同问题（1），且)1(cotkd，xyy1cot，21212)(zyyxd，0vdt，0v为常数。这里同样可取进攻球员的基本素质10k，守门员的反应系数c=1/7，球速100v米/秒，类似于问题（1）的求解可得球场上任意点对球门的威胁度，这里给出了一些特殊点的值，见上表。根据各点的威胁度的值同样可以作出球场上等威胁度的曲线。六、结果分析与说明比较两个问题的结果可以看出，问题（2）有防守的情况比问题（1）无防守的情况有很大的差别，问题（2）主要是守门员的作用，使得危险区域明显地减小。威胁度最大的区域是在球门附近，特别是正前方。由此也说明了球场上的大、小禁区设置的合理性。本模型中k值是估算出来的，严格地讲，应该通过大量的实验按统计规律确定更好。我们通过计算证明了，当k增加（即球员的素质增强）时，对球门的威胁明显增加，危险区域变大。关于守门员素质，在模型中没有考虑，是为了问题的简化。关于有多名队员的进攻和防守情况和排兵布阵的相关问题就更复杂了。这还是一个简化了的方法，实际中，从不同角度的位置射门，所看到的球门区域可能不是一个矩形区域，而是一个不规则的四边形，它的形状随着射门点的变化而变化，为了简化计算在矩形区域上作积分，这样与实际可能有些偏差。另外该问题还有多种不同解法，比如可以借助于初等几何和代数的方法，在不同的射门点进行随机模拟，通过可能射入球门的概率来定义威胁度函数，也能得出相应的结果。