函数的凹凸性与拐点

1高等数学I教案标题：函数的凹凸性与拐点教学目标：会判断曲线的凹凸性及拐点教学重点及难点：曲线的凹凸性与拐点教学内容（教学时数：2）第14讲函数的凹凸性与拐点一、复习旧知1、函数的单调性的判断2、函数的极值的求法；3、函数的最值的求法二、内容精讲为了进一步研究函数的特性并正确地作出函数的图形，需要研究曲线的弯曲方向。在几何上，曲线的弯曲方向是用曲线的“凹凸性”来描述的。1、曲线的凹凸性从图1（a），（b）直观上可以观察到：如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称此曲线弧在该区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间与凸区间。2、曲线的凹凸性的定义定义1设)(xf在区间I上连续，如果对于I上任意的两点21,xx，恒有222121xfxfxxf那么称)(xf在I上的图形是（向上）凹的（凹弧）；oxyAB（a）BAoxy（b）图12如果恒有222121xfxfxxf，（a）（b）图2那么称)(xf在I上的图形是（向上）凸的（凸弧）。从图1还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧，其切线的斜率)(xf随着x的增大而增大，即)(xf单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率)(xf随着x的增大而减少，即)(xf单调减少.而函数)(xf的单调性又可用它的导数，即)(xf的二阶导数)(xf的符号来判定，故曲线)(xfy的凹凸性与)(xf的符号有关。3、曲线凹凸性的判定定理1若)(xf在ba,上连续，ba,内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在ba,内0)(xf，那么)(xf在ba,上的图形是凹的；(2)若在ba,内0)(xf，那么)(xf在ba,上的图形是凸的。例1.判定曲线xyln的凹凸性.解函数的定义域),0(，而xy1,21xy,因此曲线xyln在),0(内是凸的.例2.讨论曲线3xy的凹凸区间.解函数的定义域为),(，23xy，xy6。显然，当0x时，0y；当0x时，0y.因此)0,(为曲线的凸区间，),0(为曲线的凹区间。4、拐点的定义定义2连续曲线)(xf上的凹弧和凸弧的分界点成为这条曲线的拐点。3如，xyarctan在0-，内为凹的，在,0内为凸的，则0x即为其拐点。注：拐点是二阶导数发生变号的点，因此拐点通常出现在二阶导数为0的点以及二阶导数不存在的点5、确定)(xfy的凹凸区间和拐点的步骤如下：(1)确定函数)(xfy的定义域；(2)求出二阶导)(xf；(3)求使二阶导数为0的点和使二阶导数不存在的点；(4)判断或列表判断，根据二阶导数的符号确定出曲线凹凸区间和拐点。例3.求曲线14123223xxxy的凹凸区间和拐点.解：12662xxy，)12(6612xxy，令0y，得21x.当21x时，0y，曲线在21--，内为凸的；当21x时，0y，曲线在,21内为凹的.点2120,21是曲线的拐点.例4.讨论曲线32)1(xxy的凹凸性及拐点.解:函数32)1(xxy在定义域,内连续.31323235xxy，5191092910343431xxxxy当0x时，yy,都不存在；当51x时，0y.故可列表如下：x51-,51-51-,0,0y-0+不存在+y凸拐点凹非拐点凹4例5.求曲线35xy的拐点.解定义域为),(，3235xy，)0(,91031xxy因为令0y时，方程091031x无解.而当0x时，0y；当0x时，0y，即曲线在区间)0,(内是凸的，在区间),0(内是凹的，又曲线在点0x处是连续的，所以点)0,0(是曲线的拐点。练习：求下列函数的凹凸区间和拐点。（1）xxey（2）xexy4)1(（3）3xy（4）xxey（5）)1ln(2xy（6）xexy4)1(5