数学物理方法的总结(改)

实用标准文案精彩文档数学物理方法总结第一章复变函数复数的代数式:z=x+iy复数的三角式和指数式:(cossin)z和ize欧拉公式:{1sin()21cos()2izizizizzeeizee柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{uuxyvvxy(其中f(z)=u+iv)函数f(z)=u+iv在点0z及其领域上处处可导,则称f(z)在0z点解析.在区域B上每一点都解析,则称f(z)是在区域B上的解析函数.解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv在区域B上解析,则12(,),(,)uxyCvxyC(12,CC为常数)是B上的两组正交曲线族.2.若函数在区域B上解析,则u,v均为B上的调和函数,即22220uvxy例题:已知某解析函数f(z)的实部22(,)uxyxy,求虚部和这个解析函数.解答:由于22ux=2;22vy=-2;则22220uvxy曲线积分法ux=2x;uy=-2y.根据C-R条件有:vx=2y;vy=2x.于是22dvydxxdy;(,0)(,)(0,0)(,0)(,)(,)(,0)(22)(22)(22)22xxyxxyxyxvydxxdyCydxxdyydxxdyCxdyCxyC实用标准文案精彩文档凑全微分显式法由上式可知22dvydxxdy则易得(2)dvdxy则显然2vxyC不定积分法上面已有vx=2y;vy=2x则第一式对y积分,x视为参数,有2()2()vxyxxyx.上式对x求导有2'()vyxx,而由C-R条件可知'()0x,从而()xC.故v=2xy+C.222()(2)fzxyixyCziC第二章复变函数的积分单连通区域柯西定理如果函数f(z)在闭单连通区域B上解析,则沿B上任意一分段光滑闭合闭合曲线l(也可以是B的边界),有()0lfzdz.复连通区域柯西定理如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数,则1()()0inllifzdzfzdz.式中l为区域外边界线,诸il为区域内边界线,积分均沿边界线的正方向进行.即1()()inllifzdzfzdz.柯西公式1()()2lfzfdzizn次求导后的柯西公式()1!()()2()nnlnffzdiz第三章幂级数展开幂级数实用标准文案精彩文档200102000()()()......()......kkkkkazzaazzazzazz其中0a,1a,2a,3a,……都是复常数.比值判别法(达朗贝尔判别法)1.若有110100limlim1kkkkkkkkazzazzaazz则2010200............kkaazzazzazz收敛,200102000()()()......()......kkkkkazzaazzazzazz绝对收敛.若极限1lim/kkkaa存在,则可引入记号R,1limkkkaRa,于是,若0zzR,则200102000()()()......()......kkkkkazzaazzazzazz绝对收敛.2.若0zzR,则后项与前项的模之比的极限11010limlim1kkkkkkkkazzaRaazz,即说明200102000()()()......()......kkkkkazzaazzazzazz发散.例题:求幂级数2461.....zzz的收敛圆,z为复变数.解答:由题意可得1lim1kkkaRa故246211......1zzzz(1z).泰勒级数展开设f(z)在以0z为圆心的圆RC内解析,则对圆内的任意z点,f(z)可展为幂级数,00()()kkkfzazz,其中实用标准文案精彩文档1()010()1()2()!RnkkCfzfadizk,1RC为圆RC内包含z且与RC同心的圆.例题:在00z的领域上将()zfze展开解答:函数()zfze的各阶导数()()nzfze,而()()0()(0)1kkfzf.则ze在00z的领域上的泰勒展开23401............1!2!3!4!!!kkzkzzzzzzekk.双边幂级数212010010220......()()()()......azzazzaazzazz洛朗级数展开设f(z)在环形区域201RzzR的内部单值解析,则对环域上的任一点z,f(z)可展为幂级数0()()kkkfzazz.其中101()2()kkCfadiz,积分路径C为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线.例题1:在1z的环域上将2()1/(1)fzz展为洛朗级数.解答:22222460211111111......111kkzzzzzzzz例题2:在01z的领域上将2()1/(1)fzz展为洛朗级数.解答:由题意得21111()()1211fzzzz则有z-1的-1次项,而0111111(1)()111222212kkkzzzz(12z)故01111()(1)()2142kkkzfzz.实用标准文案精彩文档第四章留数定理留数定理设函数f(z)在回路l所围区域B上除有限个孤立奇点1b,2b,……,nb解析,在闭区域B上除1b,2b,……,nb外连续,则11()2Re()2njljfzdzisfbia.其中,1111Re()lim{[()()]}(1)!jmmjjmzbdasfbzbfzmdz.推论1:单极点的留数为000Re()lim[()()]zzsfzzzfz.推论2:若f(z)可以表示为P(z)/Q(z)的特殊形式,其中P(z)和Q(z)都在0z点解析,0z是Q(z)的一阶零点(0()0Qz).0()0Pz,则0000000()()'()()()Re()lim()lim()'()'()zzzzPzzzPzPzPzsfzzzQzQzQz.上式最后一步应用了罗毕达法则.留数定理的应用类型一20(cos,sin)Rxxdx.作自变量代换ixze.则式子变为111(,)22zzzzzdzIRiz.例题:计算202cosdxIx.解答:21201122cos41(2)2zzdxdzdzIiizzxzzz,Z的单极点为1,24164232z.则2231Re(23)2lim(23)413zisizzz,由于23不在圆1z内.故23I.实用标准文案精彩文档类型二()fxdx.积分区间是(,);复变函数f(z)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z在上半平面及实轴上时,zf(z)一致地0.则式子可以变为()2Ifxdxi{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}.例题:计算21dxx.解答:21dzIz的单极点为1,2zi.21Re()2lim()1zisfiiziz,故21dxx.类型三0()cosFxmxdx,0()sinGxmxdx,积分区间是[0,];偶函数F(x)和奇函数G(x)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z在上半平面或实轴上,F(z)及G(z)一致地0.则式子可以变为0()cos{()}imxFxmxdxiFxe在上半平面所有奇点的留数之和;0()sin{()}imxGxmxdxGxe在上半平面所有奇点的留数之和.若类型二,类型三的实轴上有有限个奇点,则有()2Re()Re()fxdxisfzisfz在上平面实轴上.其中,在类型三中f(x)应理解为()imzFxe或()imxGxe.第五章Fourier变换傅里叶级数周期为2l的函数f(x)可以展开为级数01()(cossin)kkkkxkxfxaabll.其中,{1()cos1()sinlklklklkafdllkbfdll,k={2(0)1(0)kk.注:积分上下限只要满足上-下=2l即可.复数形式的傅里叶级数()kxilkkfxce其中*1()[]2kxillklcfedl.实用标准文案精彩文档傅里叶积分00()()cos()sinfxAxdBxd傅里叶变换式{1()()cos1()()sinAfdBfd复数形式的傅里叶积分{*1()()21()()[]2ixixfxFedFfxedx傅里叶变换的性质(1)导数定理F[f’(x)]=iwF(w)(2)积分定理F[()()xfd]=1()Fwiw(3)相似性定理F[f(ax)]=1()wFaa(4)延迟定理F[0()fxx]=0()iwxeFw(5)位移定理F[0()iwxefx]=0()fww(6)卷积定理若F[1()fx]=1()Fw,F[2()fx]=2()Fw,则F[1()fx*2()fx]=122()()FwFw.其中1212()*()()()fxfxffxd称为1()fx和2()fx的卷积.函数()x{0(0)(0)xx.()baxdx{0(,0,0)1(a0b)ab都或都.函数的一些性质1.()x是偶函数.()()'()'()xxxx2.()()xHxtdt{0(0)1(0)xx.实用标准文案精彩文档3.00()()()ftdft.第六章Laplace变换拉普拉斯变换0()()ptfpftedt拉普拉斯变换的一些性质(1)线性定理若11()()ftfp,22()()ftfp,则1121122()()()()cftcftcfpcfp.(2)导数定理'()()(0)ftpfpf.(3)积分定理01()tdpL[()p].(4)相似性定理1()()pfatfpa.(5)位移定理()()teftfp.(6)延迟定理00()()ptfttefp.(7)卷积定理若11()()ftfp,22()()ftfp,则1212()*()()()ftftfpfp,其中12120()*()()()tftftfftd称为1()ft和2()ft的卷积.第七章数学物理定解问题(1)均匀弦的微小振动,均匀杆的纵振动,传输线方程,均匀薄膜的微小横振动,流体力学与声学方程,电磁波方程的形式为20ttxxuau或220ttuau或230ttuau.(2)扩散方程,热传导方程的形式为20txxuau或20tuau.(3)稳定浓度分布,稳定温度分布,静电场,稳定电流场方程的形式为(拉普拉斯方程)0u.(4)以上方程中xu意为ux,xxu意为22ux.若以上各方程均为有源,则方程为各方实用标准文案精彩文档程=f(x,y,z,t).定解条件初始条件初始”位移”0(,,,)(,,)tuxyztxyz,初始”速度”0(,,,)(,,)ttuxyztxyz.边界条件第一类边界条件(,)(,)urtfMt第二类边界条件(,)ufMtn