一元二次方程根与系数的关系课件

一元二次方程根与系数的关系1.一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的解的情况怎样确定？2.一元二次方程的求根公式是什么？)0(02acbxaxacb42没有实数根两个相等的实数根两个不相等的实数根000)04(2422acbaacbbx知识小竞赛设x1、x2是下列一元二次方程的两个根，填写下表一元二次方程方程的两个根X1+X2X1·X2X2＋5X＋6=0X1=X2=X2－4X＋3=0X1=X2=2X2－X－1=0X1=X2=3X2＋X－2=0X1=X2=2313121234651231121323猜想：根据所填写的表格，请你猜想出x1+x2，x1·x2与方程的系数有什么关系吗？如果一元二次方程的两个根分别是、，那么：abxx21acxx21)0(02acbxax1x2x猜想：证明你们的猜想已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。)0(02acbxax1x2xacxx21abxx21求证：已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。)0(02acbxax已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。)0(02acbxax已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。)0(02acbxax已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。)0(02acbxax已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。)0(02acbxax已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。)0(02acbxax已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。)0(02acbxaxabxx21已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。)0(02acbxax求证：abxx21已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。)0(02acbxaxacxx21求证：abxx21已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。)0(02acbxaxacaacbbaacbbaacbbxx2222222144)24()24(ababaacbbaacbbxx2224242221证明：一元二次方程根与系数的关系(韦达定理）acxxabxxxxacbxax212121200,,,)(则的两根为若方程qxxpxxxxqpxx21212120,,则：，的两根为若方程特别地：推论1一元二次方程根与系数的关系(韦达定理）012121221xxxxxxxx）（）是方程（二次项系数为为根的一元二次以两个数,推论2acxxabxxxxacbxax212121200,,,)(则的两根为若方程韦达（1540——1603）是法国数学家,最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。韦达最重要的贡献是对代数的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，著有《分析方法入门》、《论方程的识别与订正》等多部著作。说出下列各方程的两根之和与两根之积：1、x2-2x-1=02、2x2-3x+=03、2x2-6x=04、3x2=421x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2=-巩固训练:1、口答下列方程两根的和与两根的积(不解方程）（1）x2-3x+1=0（2）3x2-2x=2（3）2x2+3x=0（4）3x2=12、已知方程的两根之和与两根之积相等，那么m的值为（）A.1B.-1C.2D.-23、方程的两根和为4，积为-3，则a=，b=。xmxm2210()2202xaxbB8-3例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程两个根的；（1）平方和；（2）倒数和01322xx解：设方程的两个根是x1x2那么x1+x2=x1·x2=32123221134（1）∵（x1+x2）2=x12+2x1.x2+x22∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1.x2(2)1212123112312xxxxxx练习、已知3x2+2x-9=0的两根是x1,x2。求：(1)(2)x12+x222111xx解：由题意可知x1+x2=-,x1·x2=-3(1)===(2)∵(x1＋x2)2＝x12+x22＋2x1x2∴x12+x22＝(x1＋x2)2-2x1x2＝(-)2-2×(-3)＝6例3：已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值.解：设方程的两个根分别是、，其中。所以：即：由于得：k=-7答：方程的另一个根是，k=-70652kxx0652kxx1x2x21x562221xxx532x5)53(221kxx53练习、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解这方程，得k=-2由韦达定理，得x1●2＝3k即2x1＝－6∴x1＝－3答：方程的另一个根是－3,k的值是－2。练习、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。解二：设方程的另一个根为x1.由韦达定理，得x1＋2=k+1x1●2=3k解这方程组，得x1=－3k=－2答：方程的另一个根是－3,k的值是－2。1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另一个根是___，m=____。2、设X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则X1+X2=___,X1X2=____，X12+X22=(X1+X2)2-___=___(X1-X2)2=(___)2-4X1X2=___3、判断正误：以2和-3为根的方程是X2－X-6=0（）4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是_____。X1+X22X1X2-3411412×2和-1基础练习23小结你有什么收获？acxxabxxxxacbxax212121200,,,)(则的两根为若方程qxxpxxxxqpxx21212120,,则：，的两根为若方程特别地：推论1012121221xxxxxxxx）（）是方程（二次项系数为为根的一元二次以两个数,推论2已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出p和q的值:(1)x1=1,x2=2(2)x1=3,x2=-6(3)x1=-,x2=(4)x1=-2+,x2=-2-7755(1)p=-9q=6(2)p=9q=-54(3)p=0q=-21(4)p=12q=-31、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。解：设方程的另一个根为x1,则x1+1=,∴x1=,又x1●1=,∴m=3x1=16解：由韦达定理，得x1+x2=-2,x1·x2=∴(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=1、韦达定理及其推论2、利用韦达定理解决有关一元二次方程根与系数问题时，注意两个隐含条件：（1）二次项系数a≠0（2）根的判别式△≥01、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1∵(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由韦达定理得x1+x2=,x1x2=∴解得k1=9,k2=-3当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。解：由方程有两个实数根，得即-8k+4≥0由韦达定理得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2∴X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12+x22=4，得2k2-8k+4＝4解得k1=0,k2=4经检验，k2=4不合题意，舍去。∴k=0