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考前冲刺十五天（15）1．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x﹣4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y=也经过A点．（1）求点A的坐标和k的值；（2）若点P为x轴上一动点．在双曲线上是否存在一点Q，使得△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．kx解：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点，∵△AOB是等腰直角三角形，∴AM=AN．设点A的坐标为（a，a），∵点A在直线y=3x﹣4上，∴a=3a﹣4，解得a=2，则点A的坐标为（2，2），∵双曲线y=也经过A点，∴k=4；kx（2）假设双曲线上存在一点Q，使得△PAQ是等腰直角三角形．过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q点，连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点，则△APQ为所求作的等腰直角三角形．理由：在△AOP与△ABQ中，∵∠OAB﹣∠PAB=∠PAQ﹣∠PAB，∴∠OAP=∠BAQ，又∠AOP=∠ABQ，OA=BA，∴△AOP≌△ABQ（ASA），∴AP=AQ，∴△APQ是所求的等腰直角三角形．∵B（4，0），∴Q（4，1），∴存在一点Q（4，1），使得△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形．2．如图，正三角形ABC内接于⊙O，P是BC上的一点，且PB＜PC，PA交BC于E，点F是PC延长线上的点，CF=PB，AB=，PA=4．（1）求证：△ABP≌△ACF；（2）求证：AC2=PA•AE；（3）求PB和PC的长．13（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∵四边形ABPC为圆的内接四边形，∴∠ACF=∠ABP，又BP=CF，∴△ABP≌△ACF；（2）∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠APC=∠ABB=60°，∴∠ACE=∠APC，∵∠CAE=∠PAC，∴△ACE∽△APC，∴AE：AC=AC：AP，∴AC2=PA•AE；（3）解：∵AC2=PA•AE，AB=AC，∴AE==，∴PE=AP﹣AE=4﹣=，∵△ABP≌△ACF，∴∠APB=∠F=60°，而∠APC=60°，∴△APF为等边三角形，∴PF=PA=4，∴PC+CF=PC+PB=4，∵∠BAP=∠PCE，∠APB=∠APC，∴△ABP∽△CEP，∴PB：PE=AP：PC，∴PB•PC=PE•AP=×4=3，∵PB+PC=4，∴PB和PC可看作方程x2﹣4x+3=0的两实数解，解此方程得x1=1，x2=3，∵PB＜PC，∴PB=1，PC=3．ABAP13413434343．如图（1），在矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，如图（2）以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t＞0）．（1）如图（3），当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；（2）如图（4），当等边△EFG的顶点G恰好落在CD边上时，求运动时间t的值；（3）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请求出S与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量，的取值范围．3解：（1）当边FG恰好经过点C时，（如图1）∠CFB=60°，BF=3﹣t，在Rt△CBF中，BC=2，tan∠CFB=，∴tan60°=，∴BF=2，即3﹣t=2，∴t=1，∴当边FG恰好经过点C时，t=1．3BCBF23BF（2）当点G在CD边上时，如图2，此时FB=t﹣3，AE=t﹣3，得OE=OF．∴OG垂直平分EF∵OG=AD=2，∴OE==2，∴AE=t﹣3=1，解得：t=4；（3）依题意可知，当t=3时，F点到B点，E点到A点；3tan60OG°